[exaqp]数论

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目录

1. 算术基本定理

   1. 整除

   2. 质数

   3. 质数，约数判断

   4. 算术基本定理

   5. 质因数分解

2. 最大公约数

   1. 前置芝士

   2. 最大公约数

   3. 互质

   4. 辗转相除法（求最大公约数）

   5. 最小公倍数

一、算术基本定理

整除

对于整数 $a$ , $b$ ， $b > 0$ ，则存在唯一的整数 $q$ , $r$ ，满足 $a = bq + r$ ，其中 $0 \le r < b$ ，则整数除法记为

$$a ÷ b = q \cdots \cdots r$$

其中称 $q$ 为商、$r$ 为余数。

当余数 $r = 0$ 时 ，称 $b$ 整除 $a$ ，记做 $b \mid a$，否则记作 $b \nmid a$。

若 $b$ 整除 $a$，称 $b$ 是 $a$ 的约数（因数），$a$ 是 $b$ 的倍数。

一个数总能被 $1$ 和它本身整除。

质数

对于一个正整数 $n$，记函数 $d(n)$ 为 $n$ 的约数个数。

例如 $d(6) = 4$。

若 $d(n) = 2$，则称 $n$ 为质数（也称素数）；

若 $d(n) > 2$，则称 $n$ 为合数。

$d(1) = 1$，因此 $1$ 既不是质数也不是合数；

大于 $1$ 的正整数至少有两个约数（$1$ 和本身），因此不是质数就是合数。

所有质数都是 $0$ 的约数（所有数乘 $0$ 都等于 $0$），但讨论时不考虑。

数论函数都是定义在正整数域上的，所以也不考虑负数。

质数，约数判断

用 $2 \sim (n-1)$ 的数除 $n$，如果某个数能整除 $n$，则 $n$ 为合数；

反之如果都不能整除 $n$，则 $n$ 为质数。

若 $x$ 是 $n$ 的约数，则 $\dfrac{n}{x}$ 也是 $n$ 的约数，且 $x$ 和 $\dfrac{n}{x}$ 之中必有一个 $\le \sqrt{n}$ 。

所以只需要枚举 $1 \sim \sqrt{n}$ 的所有数，判断是不是 $n$ 的约数即可。

算数基本定理

唯一分解定理

任意大于 $1$ 的正整数可以分解为若干质数的乘积，且该分解唯一。

$$n = p^{c_1}_1p^{c_2}_2 \cdots p^{a_k}_k$$

其中 $p_i$ 均为质数，$p_i < p_{i+1}$ 且 $c_i > 0$。

例如 $36$ 可以唯一分解为 $36 = 2^2 \times 3^2$。

约数个数定理

$$d(n) = \prod{i} (c_i+1)$$

举例：

$36 = 2^2 \times 3^2$。

$d(36) = (2+1) \times (2+1) = 9$

质因数分解

求出正整数 $n$ 的唯一分解的过程称为质因数分解。

当找到一个质因数 $d$ 时，将 $n$ 除以 $d$ 继续进行质因数分解。

从小到大枚举 $d$，当 $d > \sqrt{n}$ 时，说明 $n$ 为质数，不需要再进行枚举。

相关结论：$n$ 的大于 $\sqrt{n}$ 的质因数最多只有一个。

二、最大公约数

前置芝士

约定一个正整数的表示方法：

$n = ⟨c_1, c_2, c_3, \cdots ⟩$ 表示 $ n = 2^{c_1}35^{c_3}\cdots$，且允许$ c_i = 0 $。

如 $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 = ⟨2,2,1⟩$。

设

$$a = ⟨a_1, a_2, a_3, \cdots ⟩$$

$$b = ⟨b_1, b_2, b_3, \cdots ⟩$$

则有

$$ab = ⟨a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \cdots ⟩$$

如果对于所有 $i$ 均满足 $a_i \le b_i$，则有 $b \mid a$，且

$$a ÷ b = ⟨a_1 − b_1, a_2 − b_2, a_3 − b_3, \cdots ⟩$$

最大公约数

若 $c$ 同时是 $a$ 和 $b$ 的约数，则称 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数。

$a$ 和 $b$ 的公约数中最大的一个称为最大公约数。

$a$ 和 $b$ 的最大公约数记为 $\gcd(a,b)$ ，简记为 $(a,b)$ 。

$\gcd(a,b) = \gcd(b,a)$

对于任意正整数 $x$：

$$\gcd(x,0) = x \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore0 = x \times 0$$

$$\gcd(x,1) = 1$$

$$\gcd(x,x) = x$$

设有正整数 $ a $，$ b $:

$$a = ⟨a_1, a_2, a_3, \cdots ⟩$$

$$b = ⟨b_1, b_2, b_3, \cdots ⟩$$

则

$$\gcd(a,b) = ⟨\min(a_1, b_1), \min(a_2, b_2), \min(a_3, b_3), \cdots ⟩$$

举例：

$36 = 2^2 \times 3^2 = ⟨2,2⟩$

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 = ⟨2,2,1⟩$

$\gcd(36,180) = ⟨ \min(2,2),\min(2,2),\min(1,0) ⟩ = ⟨ 2,2,0 ⟩ = 36$

互质

若 $(a,b) = 1$ （即 $\gcd(a,b) = 1$ ），称 $a$ 和 $b$ 互质，记为 $a \perp b$。

分别对 $a$ 和 $b$ 进行质因数分解，没有相同的质因数。所以 $a \perp b$。

若 $p$ 为质数，则 $p$ 和任意小于 $p$ 的正整数均互质。

特殊：$0$ 和 $1$ 互质。

解释：因为 $0$ 有无数个约数，而 $1$ 的约数只有一个，就是它本身。0和1的公约数只有 $1$,所以 $0 \perp 1$。

辗转相除法

设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数，则 $\dfrac{a}{d}$ 和 $\dfrac{b}{d}$ 均为整数。

假设 $a > b$，则有

$$a + b = \dfrac{a}{d} \times d + \dfrac{b}{d} \times d = ( \frac{a}{d} + \frac{b}{d} ) \times d$$

$$a - b = \dfrac{a}{d} \times d - \dfrac{b}{d} \times d = ( \dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{d} ) \times d$$

$\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d}$ 和 $\dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{d}$ 仍为整数，

故 $( a + b )$ 和 $( a - b )$ 也是 $d$ 的倍数。

即两数相互加减，公因数不变。

举例：

$a = 18 , b = 12 , d = 6$

$18 + 12 = \dfrac{18}{6} \times 6 + \dfrac{12}{6} \times 6 = ( \dfrac{18}{6} + \dfrac{12}{6} ) \times 6$

$18 - 12 = \dfrac{18}{6} \times 6 - \dfrac{12}{6} \times 6 = ( \dfrac{18}{6} - \dfrac{12}{6} ) \times 6$

故有 $\gcd ( a,b ) = \gcd ( a \pm b,b )$

更进一步可知 $\gcd(a,b) = \gcd(a%b,b) = \gcd(a,a%b)$

又因为 $a % b \in [ 0 , b-1 ]$，故又可以重复上式中的过程，直到 $b = 0$，则此时的 $a$ 就是最大公约数。

复杂度 $O(\log(a+b))$。

最小公倍数

对于两个整数 $ a $，$ b $，若正整数$ c $既是$ a $的倍数也是$ b $的倍数，则称$ c $是$ a $和$ b $ 的公倍数。

$a$ 和 $b$ 的公倍数中最小的一个称为最小公倍数。

一般记作 $\operatorname{lcm}(a,b)$，也可简记为 $[a,b]$。

同余

若两数 $a$ , $b$ 除以 $c$ 的余数相等，则称 $a$ , $b$ 模 $c$ 同余，记做 $a \equiv b(\bmod \ c)$。

欧几里得算法

问题：给出 $a$ , $b$ ,快速求出 $(a,b)$。

引理：若 $a < b$ ，则 $b % a < b/2$ 。

不断运用 $(a,b) = (a,b % a)$ ，直到某个数等于 0 。

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

欧拉函数

$\varphi(n)$ 代表 $1 \sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数，称为欧拉函数。

例如 $1 \sim 12$ 中，1 , 5 , 7 , 11 这 4 个数与 12 互质，所以 $\varphi(12)=4$ 。

快速幂

每次询问给出 $a$ , $b$ , $c$ ,快速求出 $a^b \ % \ c$ ，不预处理，每次询问 $O(\log \ b)$ 。

$a^b=\begin{cases}(a^{\lfloor b/2 \rfloor})^2&b \% 2 ==0\\(a^{\lfloor b/2 \rfloor})^2 \times a&b \% 2 ==1 \end{cases}$ ，只要知道 $a^{\lfloor b/2 \rfloor}$ ，就能快速求出 $a^b$ 。

注： $\lfloor \ \rfloor$ 表示向下取整。

int p(int a,int b,int c)
{
	if(b==0) return 1;
	int ans=p(a,b/2,c);
	ans=ans*ans%c;
	if(b&1) ans=ans*a%c;
   //b&1就等于b%2==1
	return ans;
}

int p(int a,int b,int c)
{
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1) //b>>=1等同于b/=2
	{
		if(b&1) ans=ans*a%c;
		a=a*a%c;
	}
	return ans;
}

其他

$\forall$ 任意，对于所有元素。

$\exists$ 存在，至少一个元素。

大佬写的数论

exgcd