manacher算法 学习笔记

算法简介

这是一个可以在 $O(n)$ 时间内求出一个字符串中所有子串的最长回文串长度。

求最长回文串长度的方法显然有多种，可以 $O(n^2)$ 暴力，也可以枚举回文重心，二分回文串半径，哈希比较左右是否对称，这样是 $O(n\log n)$ ，而这次是 $O(n)$

基本思路

设 $p_i$ 表示回文重心为 i 的回文子串最大长度。

首先，一个回文子串一定左右对称，且若此串还有回文子串，它们也左右对称。

例：一个回文串 8u8u8u8 ，拥有回文子串下标 0-2 的 8u8 ，对称过来是下标 4-6 的 8u8 ，它也是回文串。

所以就存一个目前更新得最远的回文串的重心 maxmid 与最远下标 maxx ，来获取对称重心的回文串的最大半径。，就省去了从目前枚举的回文重心 i 到 maxx 的计算。特别地，若 $maxx<i$ ，那么不知道怎么办的 $p_i$ 就只能先等于 1 了。

然后呢？怎么继续更新 maxx 之后的呢？事实上每次算出这个临时的 $p_i$ 之后，都进行一次 while 循环，来找出以 i 为回文重心最远能走到哪。但由于 while 的同时也会增大 maxx ，这并不会影响时间复杂度。

CODE（洛谷P3805）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mn=2.5e7+10;
int p[mn];
char s[mn],o[mn];
int main(){
    scanf("%s",s);
    o[0]='!';o[1]='?';
    int oo=strlen(s);
    for(int i=0;i<oo;i++)
        o[(i+1)<<1]=s[i],o[(i+1)<<1|1]='?';
    int maxx=0,maxmid=0;
    int ooo=strlen(o);
    for(int i=1;i<ooo;i++){
        p[i]=maxx>i?min(p[maxmid*2-i],maxx-i):1;
        while(o[i+p[i]]==o[i-p[i]])p[i]++;
        if(maxx<i+p[i])maxx=i+p[i],maxmid=i;
    }
    maxx=0;
    for(int i=1;i<ooo;i++)
        maxx=max(maxx,p[i]);
    printf("%d\n",maxx-1);
    return 0;
}