求两个数的最大公约数和最小公倍数

求两个数的最大公约数和最小公倍数#

一查发现竟然有这么多种方法，除了之前最常用的辗转相除的方法，还有不包括辗转相除的其他三种办法

辗转相除法又称欧几里得算法，据说是最早的算法，是西方的算法

东方的有《九章算术》中的更相减损术

还有将辗转相除法和更相减损术结合起来的运用了移位运算的方法

直接写代码了

辗转相除法的依据是一条定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。

这是迭代的思想

一会再写一种递归的思想，代码会更简洁，递归很重要！！！

//使用辗转相除法
#include<iostream.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;//此时默认n是比m大的
    int temp;
    cin >> n >> m;
    while(m != 0)//m == 0时说明前一步的temp == 0了，说明n % m == 0 ，那么m就是最大公约数
    {
    	else if(n < m)
    	{
        	temp = n;
       		n = m;
        	m = temp;
    	}
	    else
    	{
        	temp = n % m;
	        n = m;
    	    m = temp;
	    }    
    }
    cout >> m;
}

递归的辗转相除法：

#include<iostream>
using namespace std;

//递归函数
int gcd(int a,int b)
{
    if(a % b == 0)
    {
        return b;//一定是b，这个语句是递归出口，b是a % b的结果，代表的是最大公约数
    }
    else 
    {
        return gcd(b,a % b);
    }
}

//方法入口
int get(int numberA,int numberB)
{
    if(numberA > numberB)
    {
        return gcd(numberA,numberB);
    }
    else
    {
        return gcd(numberB,numberA);
    }
}

//计算最小公倍数
int Lcm(int a,int b)
{
    return a * b / get(a,b);
}

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    cout << get(n,m)<< " "<< Lcm(n,m);
    
}

怎么求最小公倍数呢？

有一个公式：两个数的最小公倍数和最大公约数==两数之积

接下来使用更相减损术：

这个方法也是基于一个定理：

两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。

所以代码可以写为这样：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    int temp;
    if(n % m == 0)
    {
        cout << m;
        return 0;
    }
    else
        while(n % m != 0)
        {
            temp = n - m;
            n = m;
//            cout << n << endl;
            m = temp;
//            cout << m << endl << endl;
        }
    cout << m;
}

更相减损术也有递归的写法，递归会让代码量减少很多，所以挺好用的

#include <iostream>
using namespace std;

//递归函数
int gcd(int a,int b)
{
    if(a % b == 0)
        return b;
    else
    {
        if(a > b)
            return gcd(b,a-b);
        else
            return gcd(a,b-a);
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    cout << gcd(n,m);
    return 0;
}

更相减损术不适用于两个数相差巨大的情况，比如1000 和 1，这样就要做 999 次运算

辗转相除法和更相减损术的结合加移位运算，因为移位运算的运算性能很高

对于给定的正整数 a 和 b，不难得到如下的结论。其中 gcb(a,b) 的意思是a,b的最大公约数函数：

当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2gcb(a/2, b/2) = 2gcb (a>>1, b>>1)

当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb (a>>1, b)

当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb (a, b>>1)

当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb (b, a-b)，此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数
利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数
整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数
整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数
利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5

在两数比较小的时候，暂时看不出计算次数的优势，当两数越大，计算次数的节省就越明显。

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    if(a % b == 0)
        return b;
    else
    {
        if(a & 1 == 0  &&  b & 1 == 0)
            return gcd(a>>1,b>>1)<<1;
        else if(a & 1 == 0  &&  b & 1 == 1)
            return gcd(a>>1,b)<<1;
        else if(a & 1 == 1  &&  b & 1 == 0)
            return gcd(a,b>>1)<<1;
        else
            return gcd(b,a-b);
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    cout << gcd(n,m);
    return 0;
}