括号序列-蓝桥杯

题面：

这是一道很巧妙的利用动态规划的题目。简单来说，就是往一个不完全匹配的括号序列中加括号，使得括号匹配，且要求添加的括号尽量少。

1. 思路分析：

1. 在所有方案中，添加的括号数相等。因为所有添加括号的方案其实都是把不平衡的括号补齐，所以缺多少就可以补多少。这一点比较抽象，下文会提到。

2. 在添加左括号时，要使添加的括号不重复，只能在')'之前添加。

这一点很好理解。因为我们可以以')'为分界符，将括号序列划分为很多段，如 ...)...)...)..., 其中的...表示0个或多个左括号。这样，我们每添加一个左括号，就是在一个...内又新增了括号，因为所有左括号都一样，所以具体添加到...(左括号堆)的位置不重要，添加的左括号数量才重要，可添加的数量数就是我们的方案数。

举一个例子，方便理解。比如说，((())))()))(()))，我们在第一堆左括号中添加一个左括号，变成(((())))()))(()))，可见，无论在第一堆左括号的哪个位置加(，最终的结果都一样。

因此，我们只需要在)之前集中加左括号就行了。

3. 添加右括号的方案数，可以通过将原来的序列翻转，然后'('变')', ')'变'('，然后求加左括号的方案数就行了。最终的结果就是加左括号的方案数与加右括号的方案数相乘。

这个理解起来更抽象。首先，问一个问题，一个残缺的括号序列，是否需要同时加左括号或者右括号？

你可能以为跑遍整个序列，看看左括号多右括号多少，或者右括号多左括号多少，然后补上缺的部分就行了，可以只补充左括号或者右括号。非也！因为括号序列的有些地方前后不是一个整体（我们定义一个整体为只在整体内添加一种括号即可让括号平衡），会出现前面缺左括号，后面缺右括号的情况。

我们可以把序列中连续的部分分为3类，即(), )), ((, )(. 连续的部分一定在一个整体内，对于(), 可以肯定，他们一定是配对的，可以认为属于一个整体部分，重点是 )(。当)(前面缺右括号，后面缺左括号时，前面多的左括号正好可以与后面多的右括号配对，)(组合起来只会缺左右括号中的一种；而当 )( 前面的序列缺左括号，右面的序列缺右括号时，左面多的右括号并不会与后面的左括号抵消，所以两边需要分别加左右括号。

由此，我们还可以推导出整个括号序列要么只有一个整体，要么是两个整体，前面缺左括号，后面缺右括号。（想一想，为什么？）

举个例子，(()))()))(((() 按照 ')(' 的分隔分开，即为 (())) ())) (((()。示例括号序列的第一组缺左括号，第二组缺左括号，第三组缺右括号，所以一、二组可以连为一个整体，统一加左括号，由于最终目的是使括号序列平衡，故所有方案中加左括号的数目相等且最优。 （解释上面的1.）第三组构成一个整体，只需要加右括号，且行为不影响左面的整体。因此，添加左括号和右括号的行为相互独立，依照乘法原理，方案数相乘。

2. 动规方案

定义 dp[i][j] 为当扫描到第i个字符时，左括号多右括号j个时（添加后的结果），添加左括号的方案数。
定义 a[i] 为我们的原括号序列。

• 当 a[i] == '('时，我们不能加括号，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1].
• 当 a[i] == ')'时，我们可以加任意多的括号时序列偏向我们想要的方向。当上一个字符左括号比右括号多j+1个时，我们添加0个；多j个时，添加1个；多j-1个时，添加2个；... ；多0个时，添加j+1个。添加的方案数都是1种，故有：$ dp[i][j] = \Sigma_{k=0}^{j+1}{dp[i-1][k]} $

最后，我们让i从0开始遍历dp[n][i]，得到第一个非0的数，即为添加左括号的方案数。

以()))(((为例，最后我们只能在缺左括号的整体添加左括号使其平衡，缺右括号（多左括号）的整体最好的方案就是不加左括号，因此，最后我们能达到最好的方案（指让能平衡的地方尽量平衡的方案），其左比右多的数目，即为第一个非0数的位置。

之后，按同样方案计算添加右括号方案数，二者相乘即可。