跳台阶问题（递归、动态规则、变态跳台阶）

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

 分析：青蛙每次只有一阶或者两阶两种跳法，那么：

• 假设第一次跳的是一阶，那么剩下的n-1个台阶，跳法是f(n-1)
• 假设第一次跳的是两阶，那么剩下的n-2个台阶，跳法是f(n-2)
• 由上面两种假设可得：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
• 由实际情况可知：f(1) = 1，f(2) = 2
• 最终得出的是一个斐波那契数列：

                 |  1，n = 1

f(n)   =       |  2, n = 2

                 |  f(n-1) + f(n -2), n >2

递归方法实现

这种方法是最低级的做法，有很多重复计算，效率很低。

int jumpFloor(int n)
{
    if (n <= 0)
        return 0;
    if (n <= 2)
        return n;
    return jumpFloor(n - 1) + jumpFloor(n - 2);
}

动态规则实现

这种方法利用斐波那契数列从下往上算，避免重复计算，提高效率。

int f(int n)
{
    if (n <= 2) return n;
    int f = 1;
    int g = 1;
    while (n--)
    {
        g = g + f;
        f = g - f;
    }
    return f;
}

 

拓展：变态跳台阶问题

题目：一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级......它也可以跳上n级。此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

 

分析：用f(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，设定f(0) = 1;

当n = 1 时，只有一种跳的方式，一阶跳，f(1) = 1

当n = 2 时，有两种跳的方式，一阶跳和两阶跳，f(2) = f(1) + f(0) = 2

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有f(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有f(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有f(3-3)中跳法，f(3) = f(2) + f(1) + f(0) = 4

当n = n 时，第一次跳出一阶后，后面还有f(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有f(n-2)中跳法......第一次跳出n阶后，后面还有 f(n-n)中跳法，即：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-1)

又因为 f(n-1) = f(0) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

两式相减得：f(n) = 2 * f(n-1)    ( n >= 2)

                 |  0，n = 0

f(n)   =       |  1, n = 1

                 |  2 * f(n-1) , n >= 2

 

代码实现：

int f(int n)
{
    if (n <= 0)
        return 0;
    if (n == 1)
        return 1;
    int f = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        f = 2 * f;
    }
    return f;
}