斐波那契数列Fibonacci问题—动态规划
斐波那契数列定义
Fibonacci array:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
在数学上,斐波那契数列是以递归的方法来定义:
- F(0) = 0
- F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2)
用文字描述,就是斐波那契数列由0和1开始,之后的斐波那契系数就是由之前的两数之和想加而得,首几个斐波那契数列系数是:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...特别指出:0不是第一项,而是第零项。
递归解法
最容易想到的解法自然是按照公式的递归解法,具体实现如下:
int fib(int n) { if (n < 2) return n; return fib(n-1) + fib(n-2); }
但其实该递归解法会重复两次计算 fib(n-2) 项,时间数量级远远超过 n,是指数级别的增长,时间复杂度很高,如下图所示,更因递归调用占用大量的堆栈空间,对程序而言是一种灾难。所以该种解法如果在面试中肯定是不能让面试官满意的。
动态规划法
从上图的数据可以看出,递归算法对每个子问题都要重新计算。而实际上,若利用“动态规划”思想这是没必要的。对于已经计算完的子问题,下次再遇到直接使用。将已经计算的结果保存在数组中,在后面直接使用,避免重复计算。具体实现如下:
int fib(int n) { if (n <= 2) return n; vector<int> mem(n+1, -1); mem[0] = 0; mem[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++){ mem[i] = mem[i-1] + mem[i-2]; } return mem[n]; }
上面的这两种解法显然第二种更优,其实第二种解法是利用动态规划改进的算法,算法更简单效率更高。从时间复杂度上看,一般的递归算法是 O(n!),呈指数级增长,而采用动态规划思想的算法只有 O(n),但空间复杂度也为 O(n)。
顺序求和法
int fib(int n) { if (n < 2) return n; int a = 0; int b = 1; int c = 0; for (int i = 2; i <= n; ++i) { c = a + b; a = b; b = c; } return c; }
该方法是根据 Fibonacci 数列的实际情况在动态规划的算法上改进的方法,不需要保存每一个子问题的结果,只需保存前两个子问题的结果,这样既节省了空间,又达到了动态规规划的效果。按照公式定义前开始的两项 a 和 b 为 0 和 1。后一项 c 是前两项之和,并且 a 和 b重新赋值,动态向右移动,时间复杂度为 O(n),空间复杂度为 O(1)。这种解法更加优秀!