[ARC100F] Colorful Sequences

[题目链接]

https://atcoder.jp/contests/arc100/tasks/arc100_d

[题解]

首先考虑容斥 ， 用存在一个 \(K\) - 连续段的答案减去不存在 \(K\) - 连续段的答案。

显然 ， 总方案数为 \((N - M + 1) \cdot K ^ {N - M}\)。

考虑不合法的方案数 ， 不妨分三类情况讨论 ：

\(1.\) \(A\) 中已经存在一个连续段了 ， 此时答案为 \(0\)。

\(2.\) \(A\) 中有两个相同的元素 ， 那么对于序列中一个与 \(A\) "重合" 的子串 ， 其不可能 "跨过" 一个连续段。 不妨设 \(f_{i , j}\) 表示 \(i\) 个数 ， 末尾一段极长且互不相等的序列的最大长度是 \(j\) 的方案数。转移的时候只需考虑是否加一个新的元素或从某一位置 "断开" 即可。注意每次转移都是对一个连续区间贡献 ， 于是可以差分前缀和优化从而做到 \(O(N ^ 2)\)。对于首尾分别做一遍这样的 \(DP\) , 答案显然是一个卷积的形式。

\(3.\) \(A\) 中没有相同的元素 ， 那么必然满足 \(K > M\) , 考虑转化 ， 原问题等价于长度为 \(N\) 的所有合法序列中有多少个 \(K\) - 连续段 ， 注意这样是 “重新标号" 过的 ， 因此准确的答案还需除以 \(\frac{K!}{(K - M)!}\)。 这个问题同样可以用 \(DP\) 解决 ， 时间复杂度 \(O(N ^ 2)\)
, 不赘述了。

[代码]

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int MK = 410 , MN = 30010 , mod = 1e9 + 7;
  
int N , K , M , ans , X[MN] , Y[MN] , fac[MN] , ifac[MN] , occ[MN] , A[MN] , g[MN][MK] , 
    f[MN][MK];
inline void inc(int &x , int y) {
    x = x + y < mod ? x + y : x + y - mod;
}
inline void dec(int &x , int y) {
    x = x - y >= 0 ? x - y : x - y + mod;
}
inline int qPow(int a , int b) {
    int c = 1;
    for (; b; b >>= 1 , a = 1LL * a * a % mod) if (b & 1) c = 1LL * c * a % mod;
    return c;
}
inline void init(int n) {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    ifac[n] = qPow(fac[n] , mod - 2);
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) ifac[i] = 1ll * ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
    return;
}
inline bool check() {
    int j = 1 , cur = 0;
    for (int i = 1; i <= M; ++i) {
    	 if (!occ[A[i]]) ++cur; ++occ[A[i]];
       while (occ[A[i]] > 1) --occ[A[j++]];
       if (i - j + 1 == K && cur == K) return 1;
    }
    return 0;
}
inline bool check2() {
    memset(occ , 0 , sizeof(occ));
    for (int i = 1; i <= M; ++i)
				if (occ[A[i]]) return 1;
				else ++occ[A[i]];
    return 0;   
}
inline int DP1() {
    g[0][0] = 1; int ret = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int p , q , j = 0; j < K; ++j) {
            p = 1ll * f[i][j] * (K - j) % mod , 
	    			q = 1ll * g[i][j] * (K - j) % mod;
	     			if (j + 1 < K) {
								inc(f[i + 1][j + 1] , p) , dec(f[i + 1][j + 2] , p);
								inc(g[i + 1][j + 1] , q) , dec(g[i + 1][j + 2] , q);
	    			}
	    			inc(f[i + 1][1] , f[i][j]) , inc(g[i + 1][1] , g[i][j]);
	    			dec(f[i + 1][j + 1] , f[i][j]) , dec(g[i + 1][j + 1] , g[i][j]);
        }
        for (int j = 1; j < K; ++j) {
            inc(g[i + 1][j] , g[i + 1][j - 1]);
	      		inc(f[i + 1][j] , f[i + 1][j - 1]);
        } 
        for (int j = M; j < K; ++j) 
	    			inc(f[i + 1][j] , g[i + 1][j]);
    }
    for (int i = 1; i < K; ++i) inc(ret , f[N][i]);
    return ret;
}
inline void DP2(int res[MN] , int s[MN][MK] , int type) {
    memset(occ , 0 , sizeof(occ));
    if (!type) {
        for (int i = 1; i <= M; ++i)
			      if (!occ[A[i]]) ++occ[A[i]];
		        else { s[0][i - 1] = 1; break; }
    } else {
	    	for (int i = M; i >= 1; --i)
			     if (!occ[A[i]]) ++occ[A[i]];
			     else { s[0][M - i] = 1; break; }
    }
    for (int i = 0; i < N - M; ++i) {
	    	for (int val , j = 1; j < K; ++j) {
	         val = 1ll * s[i][j] * (K - j) % mod;
			     if (j + 1 < K) {
				 			inc(s[i + 1][j + 1] , val);
				 			dec(s[i + 1][j + 2] , val);
			     }
			     inc(s[i + 1][1] , s[i][j]);
		       dec(s[i + 1][j + 1] , s[i][j]);
		    }
		    for (int j = 1; j < K; ++j) {
		        inc(s[i + 1][j] , s[i + 1][j - 1]);
			     	inc(res[i + 1] , s[i + 1][j]);
				}
   }
}
int main() {
    
    scanf("%d%d%d" , &N , &K , &M); int mx = max(max(N , K) , M) + 1; init(mx);
    for (int i = 1; i <= M; ++i) scanf("%d" , &A[i]);
    int ans = 1LL * (N - M + 1) * qPow(K , N - M) % mod;
    if (check()) {
			 	printf("%d\n" , ans);
				return 0;
    }
    if (check2()) {
	       X[0] = Y[0] = 1;
	       DP2(X , f , 0) , DP2(Y , g , 1);
	       for (int i = 0; i <= N - M; ++i) 
		   		  dec(ans , 1ll * X[i] * Y[N - M - i] % mod);
    } else dec(ans , 1ll * DP1() * ifac[K] % mod * fac[K - M] % mod);
    assert(ans >= 0 && ans < mod);
    printf("%d\n" , ans);
    return 0;
}