[SCOI 2010] 字符串

[题目链接]

         https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1856

[算法]

         不妨建立平面直角坐标系

         将“当前已经放了的字符”看作横坐标 ， 1的个数与0的个数差看作纵坐标

         那么问题就转化为从(0 , 0)出发 ， 每次向右上或右下移动一步 ， 有多少条到达(n + m , n - m)且不经过直线y = -1的路径数

         考虑用总方案数 - 经过直线y = -1的路径数

         不难发现 ， 总方案数为C(n + m , n)

         如何计算经过直线y = -1的路径数? 可以画图分析 ， 由对称性可知 ， 经过直线y = -1方案数等价于从(0 , -2) 走到(n + m , n - m)的方案数 ， 为C(n + m , n - 1)

         答案即为C(n + m , n) - C(n + m , n - 1)

         预处理阶乘逆元即可

         时间复杂度 : O((N + M)logN)

[代码]

        

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2000010
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int P = 20100403;

int n , m;
int fac[N] , inv[N];

template <typename T> inline void chkmax(T &x,T y) { x = max(x,y); }
template <typename T> inline void chkmin(T &x,T y) { x = min(x,y); }
template <typename T> inline void read(T &x)
{
    T f = 1; x = 0;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
    x *= f;
}
inline int exp_mod(int a , int n)
{
        int res = 1 , b = a;
        while (n > 0)
        {
                if (n & 1) res = 1ll * res * b % P;
                b = 1ll * b * b % P;
                n >>= 1;
        }
        return res;
}
inline int C(int x , int y)
{
        if (x < y) return 0;
        return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}

int main()
{
        
        read(n); read(m);
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n + m; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
        inv[n + m] = exp_mod(fac[n + m] , P - 2);
        for (int i = n + m - 1; i >= 0; --i) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % P;
        printf("%d\n" , ((C(n + m , n) - C(n + m , n + 1)) % P + P) % P);
        
        return 0;
    
}