[BZOJ 4403] 序列统计

[题目链接]

         https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403

[算法]

        令r - l + 1 = m

        若序列的长度为i ， 那么每个数的出现次数x1 , x2 , x3 , .. xm满足 :

        x1 + x2 + x3 + .. + xm = n

        插板法 ， (x1 , x2 , ... xm)共有C(i + m - 1 , m - 1)种组合

        那么问题就转化为了求 : C(m , m - 1) + C(m + 1 , m - 1) + ... + C(n + m - 1 , m - 1)

        在前面添一项C(m , m) 

        原式 = C(m , m) + C(m , m - 1) + C(m + 1 , m - 1) + ... + C(n + m - 1 , m - 1)

        一个经典的递推式 : C(n + 1 , m) = C(n , m - 1) + C(n , m)

        将原式相邻两项依次合并 ， 原式 = C(n + m , m) - 1

        预处理阶乘逆元 ， 卢卡斯定理求解模意义下的值 ， 即可

        时间复杂度 : O(P) (P = 10 ^ 6 + 3)

[代码]

          

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e9 + 10;
const int P = 1e6 + 3; 
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;

int fac[P + 1] , inv[P + 1];

template <typename T> inline void chkmax(T &x,T y) { x = max(x,y); }
template <typename T> inline void chkmin(T &x,T y) { x = min(x,y); }
template <typename T> inline void read(T &x)
{
    T f = 1; x = 0;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
    x *= f;
}
inline int exp_mod(int a , int n)
{
        int b = a , res = 1;
        while (n > 0)
        {
                if (n & 1) res = 1ll * res * b % P;
                b = 1ll * b * b % P;
                n >>= 1;
        }
        return res;
}
inline void init()
{
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= P; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
        inv[P - 1] = exp_mod(fac[P - 1] , P - 2);
        for (int i = P - 2; i >= 1; i--) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % P;
}
inline int C(int x , int y)
{
        if (x < y) return 0;
        else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * 1ll * inv[x - y] % P;
}
inline int lucas(int n , int m)
{
        if (n < m) return 0;
        if (n == m || !m) return 1;
        if (n < P && m < P) return C(n , m);
        else return 1ll * lucas(n / P , m / P) * C(n % P , m % P) % P;
}

int main()
{
        
        int T;
        init();
        read(T);
        while (T--) 
        {
                int n , l , r;
                read(n); read(l); read(r);
                printf("%d\n" , (lucas(n + r - l + 1 , r - l + 1) - 1 + P) % P);
        }
        
        return 0;
    
}