球放盒子问题是组合数学中的一个重要问题。

关于球放盒子问题，以5个球，4个盒子为例

 

球

盒子

空否

解法

1

同

同

空

整数划分有0

2

同

同

非空

整数划分非0

3

同

不同

空

隔板法

4

同

不同

非空

插空法

5

不同

同

空

集合划分有空集

6

不同

同

非空

集合划分非空集

7

不同

不同

空

球选盒子

8

不同

不同

非空

分堆选盒

 

1.5个相同的球放入4个相同的盒子，可以空盒。

相同的球放盒子相当于对整数5进行划分，且可以空盒，因此有0的情况，相同的盒子只能用不同的球的个数来区分。此时可以划分的情况有（5，0，0，0），（4，1，0，0），（3，2，0，0），（3，1，1，0），（2，2，1，0），（2，1，1，1）6种情况。

 

2.5个相同的球放入4个相同的盒子，不能空盒

不能空盒，所以只能是（2，1，1，1）这一种放法，只有1种情况

 

3.5个相同的球放入4个不同的盒子，可空盒

隔板法，三个隔板和5个球组成8个位置，对这8个位置选3个作为隔板的位置，所以是一共是56种

 

4.5个相同的球放入4个不同的盒子，不能空盒

插空法，每个球之间可以放隔板，左右两边不能放，所以是，有4种情况

 

5.5个不同的球放入4个相同的盒子，可空盒

（5，0，0，0），（4，1，0，0），（3，2，0，0），（3，1，1，0），（2，2，1，0），（2，1，1，1）

（5，0，0，0）1种

（4，1，0，0）5种

（3，2，0，0） = 10种

（3，1，1，0） = 10种

（2，2，1，0）*/2!=15种（因为12,34,5和34,12,5是一样的，所以需要除以2！）

（2，1，1，1） =10种

共51种

 

6.5个不同的球放入4个相同的盒子，不可空盒

把5个不同的球分成4堆，有种情况

将这4堆小球放入4个相同的盒子里，无论怎么放都只有一种情况，所以总共只有 = 10种

 

7.5个不同的球放入4个不同的盒子，可空盒

每个小球都有4个不同的盒子可以选择，所以是情况，这里面已经包含了有空盒的情况了。

 

8.5个不同的球放入4个不同的盒子，不可空盒

先把5个不同的小球分成4堆，有种情况

再让这4堆小球分别放进盒子里，有4！种情况

所以一共有10*4*3*2=240种

 

总结：当小球是不同的时候，可以把小球看成集合，当小球是相同的时候，可以把小球是个数看成一个数。当盒子相同时，小球的个数或者放进盒子里的小球可以区分盒子。