对KMP算法的理解

KMP算法实现的功能是给定两个字符串T和P，长度分别为n和m，判断P是否在T中出现，如果出现，则返回出现的位置。

在开始之前，首先要理解前缀和后缀这两个概念，前缀指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；后缀指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。所以只有一个字符的字符串是没有前缀后缀的。

如下图，判断P是否在T中出现，假设现在已经匹配到a处才出现不匹配，即a位置之前都匹配，则此时要将P字符串向右移动。

我们可以知道A为P的前缀，B为P的后缀，A的长度等于B的长度。

 

 

 

 

 

因为a处已经不匹配，所以要将P向右移动，传统的做法是将P向右移动一位，但是这样没有很好利用到现有的信息。利用KMP算法之后，我们知道P的前缀A和后缀B的最大公共长度，所以可以通过这个最大公共长度，直接将P向右移动N位，令A和B对齐。

那么KMP是怎么知道前缀和后缀的最大公共长度的呢？关键就在于next数组，下面就来求解next数组。

 

根据数学归纳法，假设我们已经求得next[1]，next[2]，next[3]，......，next[a]的值（next数组的下标从1开始，方便理解），接下来要求next[a+1]。

上面说到我们已经匹配到a处了，那么下一步就要匹配T[a]和P[b]，T[a]和P[b]的关系有两种情况：

当T[a] = P[b]时，如下图可以知道就相当于前缀和后缀的最大公共长度增加一个单位，所以next[a+1] = next[a] + 1

 

当T[a] ≠ P[b]时，则只能在j位置之前的字符串进行匹配，所以要将P向右移动（等价于减短最大公共长度，减短最大公共部分）。从下图可以看到，将P向右移动之后，绿色块就是减短之后的最大公共部分，其实绿色块就是灰色块的前缀后缀最大公共部分。令绿色块长度为c，灰色块长度为b，

即c = next[b] = next[next[a]]

从上面的推导我们可以知道：

当T[a] = P[b]时，next[a+1] = next[a] + 1 = b + 1

当T[a] ≠ P[b]时，则只能在b位置之前的字符串进行匹配，此时令c=next[b]=next[next[a]]，再接下去进行匹配。如果T[a] = P[c]，则next[a+1] = next[c] + 1 = next[next[b]] + 1，如果T[a] ≠ P[c]，则继续减短next[next[b]]字符串的长度，继续匹配，直到字符串长度为0为止，因为这个过程是有限的，所以总能算出结果。

 

那么next[1]又是怎么得到的？

如下图，当T[a] ≠ M[b]时，此时M已经不能再向右移动了，所以next[1] = -1