理解：时间序列的平稳性

为什么要平稳？

原因一：时间序列数据的数据结构与传统的统计数据结构不同。最大的区别在于，传统随机变量可以得到多个观测值（比如骰子点数，可以反复掷得到多个观测值，忽略时间的差异）。而时间序列数据中，每个随机变量只有一个观测值（比如设收盘价为研究的随机变量，每天只有一个收盘价，不同日子的价格服从的分布不同，即考虑时间的差异）。这样一来，每个分布只能得到一个观测值，数目太少，无法研究分布的性质。但是通过平稳性，从不同日期的分布之间发现内在关联，缓解了由于样本容量少导致的估计精度低的问题。

原因二：研究时间序列的最终目的是，预测未来。但是未来是不可知的，我们拥有的数据都是历史，因此只能用历史数据来预测未来。但是，如果过去的数据与未来的数据没有某种“相似度”，那这种预测就毫无道理了。平稳性就是保证这种过去与未来的相似性，如果数据是平稳的，那么可以认为过去的数据表现出的某些性质，未来也会表现。

 

什么是严平稳？

对于一个时间序列{X_t}，其中每个数据X都是随机变量，都有其的分布（如图）。

 

 

 

 

 

 

取其中连续的m个数据，X₁到X_m，则可以构成一个m维的随机向量，(X₁,X₂,...,X_m)

由于单独的每个随机变量X都有各自的分布，那么组合成一个m维随机向量后，这个多维向量整体就有一个“联合分布”。

严平稳的本质就是，这种联合分布不随着时间的推移而变化。

也就是说，取数据时，任意连续取出的m个数据（无论是从X₁取到X_m，还是从X_t取到X_t+m），他们组成的多维向量的联合分布都是相同的。

此时，再放宽一个条件，让这个m的取值也任意。

即无论这取数据的窗口设定为多宽，只要连续取相同数目个数据，他们构成的联合分布都是相同的。

比如，(X₁,X₂,X₃)与（X₆,X₇,X₈）有相同的3维联合分布，(X₁,X₂,X₃,X₄)与（X₆,X₇,X₈,X₉）有相同的4维联合分布。

综上，符合上述性质的时间序列，是严平稳的。

 

有了严平稳为什么还要有宽平稳？

很多情况下，我们无从得知这些随机变量的分布到底是什么样子。

我们观测得到的数据，只是服从某种未知分布的随机变量的一种取值。

既然连单个随机变量的分布都难以求出，就更不用说求由一堆随机变量组成、多维随机向量的联合分布有多困难了。

因此严平稳虽然是一种保证过去与未来的数据“相似”很棒的方式，但过于理想化，实际上很难检验一个时间序列的严平稳性。

于是只能放宽条件，因而产生了“宽平稳”的概念。

 

什么是“k阶矩”？

“矩”是随机分布的一种特征数。特征数，顾名思义，反映了一个随机分布的某种特征。比如“数学期望”反映了，符合某种分布的随机变量的取值，总是在某个值周围波动；而“方差”则反映了，这种波动的大小程度。

矩分为原点矩和中心矩，其中一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差。

通常2阶以内（含2阶）称为低阶矩，2阶以上称为高阶矩。

但是这两者之间有相互推导的公式，知其一就可推其二，因此一般只称“矩”。

其中，随机变量的k阶原点矩的定义为，随机变量的k次方的数学期望，即E(X^k)。平时所说的“k阶矩存在”，就表现为这个数学期望不是无穷（也就是小于无穷），这与“极限存在”的定义是同理的。

值得注意的是，如果一个随机变量的某高阶矩存在，那么低阶矩也一定存在。因为|X|^k-1≤|X|^k+1。

严平稳中由于联合分布相同，故各阶矩也相同。

 

什么是宽平稳？

宽平稳性是使用序列的特征统计量来定义的，它认为序列的统计性质，主要由其低阶矩决定。

当时间序列满足以下三个条件时：

第一个条件，任意时刻二阶矩都存在。

第二个条件，随机变量的期望（一阶矩）不随时间的推移而改变。说白了就是，均值μ不随时间t改变。

第三个条件，两个时点的随机变量之间的自相关系数，只与这两个时点的时间差有关，而不随时间的推移而改变。说白了就是，只要窗口宽度（即两时点的时间差）固定，则自相关系数是唯一。

就被称为是宽平稳的。

由于定义涉及到的几个条件，宽平稳也被称为协方差平稳，或二阶平稳。

 

从自相关系数与时间t无关能得到什么结论？

由于自相关系数只跟窗口宽度l（lag的首字母，表示用于计算自相关性而取的、两个数据之间的时间差）有关，与时间t无关，因此大可以设一个函数ACF（Autocorrelation Function）表示这个窗口宽度与自相关系数之间的函数关系。其自变量为滞后期数（即窗口宽度，用l表示），因变量为自相关系数（用ρ表示）。

根据协方差的定义，ρ_l中，分子为Cov(X_t,X_t-l)，分母为sqrt{Var(X_t)Var(X_t-l)}。由于【【【【记得写完】】】】

 

平稳性的一些结论

如果一个时间序列平稳，则有：

均值是与t无关的常数。即不同时点的分布中，随机变量都是围绕同一个值波动的。表现在时序图（横轴为时间轴，纵轴衡量随机变量取值）中，即图线整体是围绕某个水平线波动的（类似于政经里价格围绕价值上下波动那个图）。

方差是与t无关的常数。这在定义里并没有显然地体现，但是由于定义给出自相关系数只与窗口宽度有关，而与窗口位置即时间t无关，所以大可以干脆取个宽度为0的窗口，于是本来相隔一个窗口宽度的两个时点数据之间的相关性，就变成了同一个时点数据自己和自己之间的相关性，自己和自己，当然相关系数为1。

协方差是常数。

 

严平稳与宽平稳之间的关系？

严平稳本质上是对时间序列的分布进行限制，而宽平稳的本质是对低阶矩进行限制。

由于宽平稳比严平稳的条件更为宽松，因此通常情况下，严平稳能推导出宽平稳，但宽平稳不能反推严平稳。但有特例。

因为宽平稳时，需要满足二阶矩存在的条件。而严平稳不需要满足二阶矩存在。

因此，不存在二阶矩的严平稳序列，无法满足宽平稳。例如严平稳的柯西分布序列，就不符合宽平稳（一二阶矩不存在，因此无法验证宽平稳）。

所以，只有二阶矩存在时，严平稳序列才满足宽平稳。

特例：当序列服从多元正态分布时，宽平稳序列一定能推导出严平稳。

原因在于，正态时间序列的二阶矩平稳，等价于分布平稳（其密度函数表明，n维正态分布仅由其均值向量和自协方差矩阵决定）。

 

正态时间序列

如果一个时间序列，从中取出任意n个（有限个）随机变量，组成的n维随机向量，都服从n维正态分布，则称之为正态时间序列。即上方的特例。