同调代数笔记1
范畴论，尤其是阿贝尔范畴，是同调代数的基石。基础的范畴论包含了以下概念：
范畴
一个范畴\(\mathcal{C}\)包含对象\(\text{obj}(\mathcal{C})\)，和态射\(\text{Hom}(A, B)\)，其中\(A,B\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，态射必须满足
- 每个对象\(A\in\text{obj}(\mathcal{C})\)存在\(1_A \in \text{Hom}(A, A)\)，使得\(f1_A = f\)且 \(1_Af = f\)
- 复合运算是结合的，即\(f\in\text{Hom}(A, B), g\in\text{Hom}(B, C), h\in\text{Hom}(C, D)\)，则
我们发现，态射的概念和幺半群十分相似，但幺半群中每个元素皆可相乘，而态射的复合必须匹配定义域和值域。有了态射之后，我们还可以定义一些特殊的态射。注意这些概念并不考虑对象中的元素，而是通过态射的交换性构造：
- 如果态射\(f\in\text{Hom}(A, B)\)满足对任意\(g_1, g_2\in \text{Hom}(B, C)\)都有\(g_1 \circ f = g_2 \circ f\)，以及对任意\(h_1, h_2\in \text{Hom}(D, A)\)都有\(f\circ h_1 = f\circ h_2\)，就称\(f\)为零态射。
- 对于\(f\in\text{Hom}(A, B)\)，如果任意\(g_1, g_2\in\text{Hom}(C, A)\)都满足\(f\circ g_1 = f\circ g_1 \Rightarrow g_1 = g_2\)，则称\(f\)是单态射，记为\(↪\)，其概念和单射类似。
- 对于\(f\in\text{Hom}(A, B)\)，如果任意\(g_1, g_2\in\text{Hom}(B, C)\)都满足\(g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2\)，则称\(f\)是满态射，记为\(↠\)，注意满态射不一定是满射，例如嵌入映射。
- 如果\(f\in\text{Hom}(A, B)\)既是单态射又是满态射，那么就称其为双态射。
- 如果\(f\in\text{Hom}(A, B), g\in\text{Hom}(B, A)\)，并且\(gf = 1_A, fg = 1_B\)，则称\(f, g\)是同构，记为\(\xrightarrow{\sim}\)，并且\(g\)称为\(f\)的逆态射。
注意同构是双态射，但双态射不一定是同构，例如环范畴中\(\mathbb{Z}↪\mathbb{Q}\)是双态射但不是同构。如果一个范畴中的双态射都是同构，那么就称其为平衡范畴。
除此之外，我们还可以定义一些特殊的对象：对于\(A\in \text{obj}(\mathcal{C})\)
- 如果对任意\(B\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，在\(\text{Hom}(A, B)\)中有且仅有一个元素，那么就称\(A\)为起始对象。
- 如果对任意\(B\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，在\(\text{Hom}(B, A)\)中有且仅有一个元素，那么就称\(A\)为终止对象。
- 如果\(A\)既是起始对象又是终止对象，那么就称其为零对象。
- 如果对任意满态射\(X ↠ Y\)和态射\(P \to Y\)，如果有唯一的态射\(P \to X\)，就称\(P\)为投射对象。
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- 如果对任意单态射\(X ↪ Y\)和态射\(X \to Q\)，如果有唯一的态射\(Y \to Q\)，就称\(P\)为内射对象。
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投射对象和内射对象在同调代数中有重要用途。
注记：
- 范畴中对象的全体不一定是ZFC集合，也可能是真类，如果是前者我们称为小范畴，如果是后者则称为大范畴。
- 一个范畴\(\mathcal{C}\)中的部分对象和部分态射如果满足范畴的条件，可以称为\(\mathcal{C}\)的子范畴；如果子范畴\(\mathcal{S}\)的任意对象\(A, B\in \text{obj}(\mathcal{S})\)都满足\(\text{Hom}_\mathcal{S}(A, B) \cong \text{Hom}_\mathcal{C}(A, B)\)，那么就称\(\mathcal{S}\)为满子范畴。
- 一个范畴\(\mathcal{C}\)的反范畴\(\mathcal{C}^{op}\)，满足：
- 对于拓扑空间\(X\)，开集范畴\(\text{Op}(X)\)的对象为\(X\)中的开集，态射为包含映射。
函子
函子是范畴之间的映射，分为共变函子和反变函子。共变函子\(T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}\)的构造如下：对任意\(A \in \mathcal{C}\)都有\(T(A) \in \mathcal{D}\)；对任意\(f \in \text{Hom}_\mathcal{C}(A, B)\)都有\(T(f) \in \text{Hom}_\mathcal{D}(T(A), T(B))\)，并且满足
而反变函子\(T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}\)则是：对任意\(A \in \mathcal{C}\)都有\(T(A) \in \mathcal{D}\)；对任意\(f \in \text{Hom}_\mathcal{C}(A, B)\)都有\(T(f) \in \text{Hom}_\mathcal{D}(T(B), T(A))\)，并且满足
我们有以下例子：
- 如果\(f\to T(f)\)是单态射，那么就称\(T\)是一个忠实函子，如果是满态射，就称\(T\)是一个满函子。如果存在忠实函子\(F: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)，那么就称\(\mathcal{C}\)为具体范畴。当我们用交换图证明时，我们其实是把范畴看作具体范畴。
- 令\(X \in \text{obj}(\mathcal{C})\)，\(\text{Hom}(A, -)\)将对象\(X\)映射成\(\text{Hom}(A, X)\)，将态射\(f\in \text{Hom}(X, Y)\)映射成态射的函数\(g \to g \circ f\)，其中\(g\in \text{Hom}(A, X)\)，这个取值为\(\mathbf{Set}\)的函子称为Hom函子。\(\text{Hom}(A, -)\)是一个共变函子，也可以定义反变函子\(\text{Hom}(-, B)\)。
- 如果一个共变函子\(F: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)满足存在\(A\in \text{obj}(\mathcal{C})\)使得\(F\cong \text{Hom}(A, -)\)，那么称\(F\)是可表函子，写成\(h_A\)。我们也可以对反变函子定义可表函子。
- 反变函子\(G: \text{Op}(X) \to \mathbf{Set}\)称为拓扑空间\(X\)上的预层。
- 设\(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)是两个函子，如果对任意对象\(X\in \mathcal{C}, Y\in \mathcal{D}\)有\(\text{Hom}(FX, Y)\cong \text{Hom}(X, GY)\)，那么称\(F, G\)是一对伴随函子，\(F\)称为\(G\)的左伴随，\(G\)称为\(F\)的右伴随。
自然变换
自然变换是函子之间的映射。假如\(S, T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)是两个共变函子，那么自然变换\(\tau\)定义为：对任意\(A\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，\(\tau_A: S(A) \to T(A)\)；对任意\(f\in\text{Hom}(A, B)\)，\(\tau_A \circ S(f) = T(f) \circ \tau_B\)。类似也可以定义反变函子的自然变换。如果每个\(\tau_A\)都是同构，则称\(\tau\)为自然同构。
注意：由于后一个条件的存在，自然变换不一定存在，也不一定唯一。例如：令\(\mathcal{I} = 0 \to 1\)是2个对象和1个态射构成的范畴，令\(S: \mathcal{I} \to \mathcal{I}\)把两个都映射到0，\(T: \mathcal{I} \to \mathcal{I}\)把两个都映射到1。我们发现\(S,T\)不存在自然变换。
对于自然变换，我们有以下著名的米田引理
设\(A\in \mathcal{C}\)，\(h_A\)是范畴\(\mathcal{C}\)上的可表函子，\(G: \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\)是\(\mathcal{C}\)上的另一个函子，则有
\[\text{Nat}(h_A, G) \cong G(A) \]
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