[算法]——集合子集

1）集合子集

对于给定的集合S={1,2,3}，求其所有子集。LintCode

一种通常的做法是：对于集合中的任意一个元素e,有两种可能：被选中作为子集中的元素，或否。因此，一个包含N个元素的集合，共有2^N个子集。如上例，其所有子集如下：

s0={}, s1={1}, s2={2}, s3={3}, s4={1,2}, s5={2,3}, s6={1,3}, s7={1,2,3}.

使用递归很容易写出如下代码：

// Method 1 recursion
class Solution {
	void subsetcore(vector<int> &nums,int pos,
		vector<vector<int> > &vs, vector<int> &v){
		if (pos==nums.size()){
			vs.push_back(v);		// get one subset
			return;
		}
		v.push_back(nums[pos]);		// select this element
		subsetcore(nums,pos+1,vs,v);
		v.pop_back();				// not select
		subsetcore(nums,pos+1,vs,v);
	}
public:
	/**
	 * @param S: A set of numbers.
	 * @return: A list of lists. All valid subsets.
	 * Tip: eacho element has two state: to be selected and not
	 */
	vector<vector<int> > subsets(vector<int> &nums) {
		// write your code here
		vector<vector<int> > vs;
		vector<int> v;
		sort(nums.begin(),nums.end());
		subsetcore(nums,0,vs,v);
		return vs;
	}
};

其中数组v是当前正在生成的子集，pos是当前选择的元素在原集合（nums）中的位置。直到pos等于原集合的大小，说明寻找到一个子集，则将其加入到结果vs中。其中24行为排序，可以保证最终求得的子集按照字典序，如非必要，可以不用排序。这是回溯法（backtrack）的典型应用。

由于使用递归，其速度往往很慢。假如原集合中有20个元素，则其递归调用了2^20次，很明显容易出现栈溢出。

2）集合子集非递归版

仍以上例，对于一个集合S'={1,2}，其子集共有四个{},{1},{2},{1,2}。集合S=S'+{3}，因此，S的子集=S'的子集+{S'的子集+{3}}。同理，集合S''={1}的子集为{},{1}。

因此可以使用下面方法：初始一个空子集{}；从原始集合中取一个元素e，将现在所求得的所有子集复制，并加入元素e;直到所有元素都取完毕。一种实现代码如下：

// Method 2 loop
class Solution {
public:
	/**
	 * @param S: A set of numbers.
	 * @return: A list of lists. All valid subsets.
	 *
	 * Tip: all subsets count: 2^n (include null)
	 * sketch : set { 1, 2, 3 }
	 * [ ]
	 * [ ] [ ] -> [ ] [1]
	 * [ ] [1] [ ] -> [ ] [1] [2] [1,2]
	 * [ ] [1] [2] [1,2] [ ] -> [ ] [1] [2] [1,2] [3] [1,3] [2,3] [1,2,3]
	 */
	vector<vector<int> > subsets(vector<int> &nums) {
		// write your code here
		vector<vector<int> > vs(1);
		for (int i=0; i<nums.size(); ++i){
			int size = vs.size();
			for (int j=0; j<size; ++j){
				vs.push_back(vs[j]);
				vs.back().push_back(nums[i]);
			}
		}
		return vs;
	}
};

其中20~23行，将当前求得的所有子集复制，并加入当前元素nums[i]。

3）具有重复元素的集合子集

从严格意义讲，集合中无重复元素，但是在实际编程时，很多问题将转化成求具有重复元素的集合子集问题。很明显，求得的所有子集，必须唯一。LintCode

一种简单的思路：仍然按照1）、2）中的方法求所有子集，然后对子集去重复。但是这种方法并不完美。

可以将原始集合排序，然后每次选择元素时，判断是否与之前选择的元素是否相同，从而进行去重复。一种代码如下：

class Solution {
public:
	/**
	 * @param S: A set of numbers.
	 * @return: A list of lists. All valid subsets.
	 * Tip : See problem 18 subsets
	 */
	vector<vector<int> > subsetsWithDup(const vector<int> &S) {
		// write your code here
		vector<int> A(S);
		sort(A.begin(),A.end());
		vector<vector<int> > vs(1);
		for (int i=0,count=0; i<A.size(); ++i){
			int size = vs.size();
			for (int j=0; j<size; ++j){
				if (i==0 || A[i-1]!=A[i] || j>=count){
					vs.push_back(vs[j]);
					vs.back().push_back(A[i]);
				}
			}
			count=size;
		}
		return vs;
	}
};

其中16~19行，如果之前选择的元素为空，或者之前的元素与当前元素不同，或者，所选择的总数大于之前的子集，则认为是一个新的无重复子集。

注：以上代码可参见 https://git.oschina.net/eudiwffe/lintcode/blob/master/C++/subsets.cpp

https://git.oschina.net/eudiwffe/lintcode/blob/master/C++/subsets-ii.cpp