[真题]——矩阵置零

矩阵置零（更新新方法）

题目描述：有一个M行N列的矩阵，每个元素值为0或1，将值为0的元素所在行和列都置为0.

乍一看题目很简单，如果不考虑时间、空间复杂度，那么很容写出下面的代码：

void setzero(int matrix[][], int m, int n, int row, int col){
    for (int i=0; i<m; matrix[i++][col]=0);
    for (int i=0; i<n; matrix[row][i++]=0);
}
void setmatrix(int matrix[][], int m, int n){
    for (int i=0; i<m; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
            if (matrix[i][j]==0)
                setzero(matrix,m,n,i,j);
}

然而上面的代码并不正确。因为在置零函数setzero执行后，将修改了后续的矩阵元素，这样就会再次影响其他位置的元素。举个例子：

matrix:         expect:         setmatrix:
 1 1 1 1        1 1 0 1         1 0 0 0
 1 1 0 1        0 0 0 0         0 0 0 0
 1 1 1 1        1 1 0 1         0 0 0 0

我们期望的正确结果是expect，但我们的代码实际结果是setmatrix。因为在处理matrix[1][2]时，这是第一个值为0的元素，如果经过setzero操作，那么立刻变成expect的结果。但是我们的程序继续运行，就会把置换后的0当做元素原始值0进行操作，因此就会发现第二个为0的元素matrix[1][3]，然后会再一次置零setzero。这样，我们的代码就像病毒一样传染整个矩阵，而且会重复置零，效率太差。因此，我们需要将我们手动置零的元素与原始为0的元素做一个区分，例如将手动置零的元素临时置为2，遍历一遍结束后，再把值为2的元素置零，具体操作如下：

void setzero(int matrix[][], int m, int n, int row, int col){
    for (int i=0; i<m; ++i)
        if (matrix[i][col]==1)
            matrix[i][col]=2;
    for (int i=0; i<n; ++i)
        if (matrix[row][i]==1)
            matrix[row][i]=2;
}
void setmatrix(int matrix[][], int m, int n){
    for (int i=0; i<m; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
            if (matrix[i][j]==0)
                setzero(matrix,m,n,i,j);
    for (int i=0; i<m; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
            if (matrix[i][j]==2)
                matrix[i][j]=0;
}

显然这是一种暴力方法。如果一个矩阵中存在大量的0元素，那么对于某些元素将进行重复多次的置零操作。如果减少重复置零的次数，就可以优化其执行效率。

对于在同一行中的元素，如果有多个元素值为0，那么只需要对该行进行一次置零操作，而不是多次执行置零操作；对于列一样。因此，可以将待置零的行和列单独保存，然后统一进行置零操作。具体代码如下：

void setmatrix(int matrix[][], int m, int n){
    int row[m], col[n];
    for (int i=0; i<m; row[i++]=1);
    for (int i=0; i<n; col[i++]=1);
    for (int i=0; i<m; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
            if (matrix[i][j]==0)
                row[i]=0, col[j]=0;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        if (row[i]) continue;
        for (int j=0; j<n; matrix[i][j++]=0);
    }
    for (int i=0; i<n; ++i){
        if (col[i]) continue;
        for (int j=0; j<m; matrix[j++][i]=0);
    }
}

首先定义两个一维数组row和col，并将其初始置为1。这里暂不考虑C语言可变长度数组定义问题。第一趟遍历矩阵，仅找到待置零的行和列；接下来将需要置零的行和列置零。这样可以降低重复置零的次数。

到这一步，时间方面已经很难继续优化了，但是空间上，使用了两个数组，即空间复杂度为O(M+N)。如何进一步优化空间？我们可以使用矩阵的第0行和第0列作为上面代码的row和col数组，即空间复杂度为O(1)。同样需要注意：如果第0行或第0列的元素原本不是0，此时需要将其置为0，那么需要对这种情况进行区别处理，可以沿用暴力法中的置2。具体代码如下：

void setmatrix(int matrix[][], int m, int n){
    for (int i=1; i<m; ++i)
        for (int j=1; j<n; ++j)
            if (matrix[i][j]==0){
                matrix[i][0] = (matrix[i][0] ? 2:0);
                matrix[0][j] = (matrix[0][j] ? 2:0);
            }
    for (int i=0; i<m; ++i){
        if (matrix[i][0]==1) continue;
        for (int j=1; j<n; matrix[i][j++]=0);
    }
    for (int i=0; i<n; ++i){
        if (matrix[0][i]==1) continue;
        for (int j=1; j<m; matrix[j++][i]=0);
    }
    for (int i=0; i<m; ++i){
        if (matrix[i][0]==0){
            for (int j=0; j<m; matrix[j++][0]=0);
            break;
        }
        else if (matrix[i][0]==2) matrix[i][0]=0;
    }
    for (int i=0; i<n; ++i){
        if (matrix[0][i]==0){
            for (int j=0; j<n; matrix[0][j++]=0);
            break;
        }
        else if (matrix[0][i]==2) matrix[0][i]=0;
    }
}

其中8~15行将第1~m-1行以及第1~n-1列的矩阵元素置为0；16~29行进行收尾操作，将第0行和第0列的元素置零操作。（这里暂不考虑C语言二维数组的传参问题）

推广矩阵置零

如果矩阵中的元素除了0之外，其他的元素并不固定为1，而是存在2,3，等其他任意整数，如何操作呢？

显然，使用临时置中间值（此处的2）的方法并不完美，也就是说：对于原始为0和经0影响后为0的两种0元素的处理方法，无法继续使用置一个特殊值来区分。如果使用临时存储空间O(M+N)仍然可正常工作，但是如果使用常数级空间，则需要另寻新解。

可以使用虚拟的行和列，存储原始为0的元素。首先看下面的例子：

*  *  *  0         *  O  O  0        0  0  0  0
*  0  *  *  --->   *  0  *  O  --->  0  0  0  0
*  *  0  *         *  *  0  O        0  0  0  0
*  *  *  *         *  *  *  *        *  0  0  0
    (1)                (2)               (3)

图1和图2的最终结果是一样的，都为图三。其中0表示元素原始为0的位置，O表示将其转换到虚拟行列（此处row=0,col=3）的情况。例如matrix[1][1]=0，将其所在的行列与元素matrix[0][3]=0的交点置为0,经过转换后，图1和图2的尽管不一样，但是其置零结果都为图3.

注意观察特点，根据这种转换，所有原始为0的元素与第一个为0的元素（此处为matrix[0][3]）的交点，都在第一个元素所在的行与列。当得到图2的情况时，以第一个0元素所在的行列作为依据，将整个矩阵除第一个0所在行列置0。最后，单独置第一个元素0所在的行列。

具体代码如下。

void setZeroes(vector<vector<int> > &mat) {
    // write your code here
    if (mat.size()<1 || mat[0].size()<1) return;
    int m=mat.size(), n=mat[0].size(), row=-1, col=-1;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        for (int j=0; j<n; ++j){
            if (mat[i][j] != 0) continue;
            if (row==-1) row = i, col = j;  // select this row and col
            mat[i][col] = 0;        // to store the zero factor
            mat[row][j] = 0;        // to store the zero factor
        }
    }
    if (row==-1) return;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        if (i == row) continue;     // set zero except row
        for (int j=0; j<n; ++j){
            if (j == col) continue; // set zero except col
            if (mat[row][j]==0 || mat[i][col]==0) mat[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=m; i; mat[--i][col]=0);   // set zero for row
    for(int j=n; j; mat[row][--j]=0);   // set zero for col
}