[算法]——归并排序（Merge Sort）

归并排序（Merge Sort）与快速排序思想类似：将待排序数据分成两部分，继续将两个子部分进行递归的归并排序；然后将已经有序的两个子部分进行合并，最终完成排序。其时间复杂度与快速排序均为O(nlogn)，但是归并排序除了递归调用间接使用了辅助空间栈，还需要额外的O(n)空间进行临时存储。从此角度归并排序略逊于快速排序，但是归并排序是一种稳定的排序算法，快速排序则不然。

所谓稳定排序，表示对于具有相同值的多个元素，其间的先后顺序保持不变。对于基本数据类型而言，一个排序算法是否稳定，影响很小，但是对于结构体数组，稳定排序就十分重要。例如对于student结构体按照关键字score进行非降序排序：

// A structure data definition
typedef struct __Student
{
    char name[16];
    int score;
}Student;
// Array of students
name :  A      B     C     D
score:  80     70    75    70
 
Stable sort in ascending order:
name :  B      D     C     A
score:  70     70    75    80
 
Unstable sort in ascending order:
name :  D      B     C     A
score:  70     70    75    80

其中稳定排序可以保证B始终在D之前；而非稳定排序，则无法保证。

1)数组的归并排序

归并排序的思想实际上是一种分治法，即将待排序数据分成两部分，分别对两部分排序，然后将这两部分合并。下面以非降序排序为例：

// Split arr[] into two parts [begin,mid), [mid,end)
// and using merge_core to merge this two parts
// Total Time O(nlogn)
void merge_sort(int arr[], int begin, int end)
{
    if (end-begin < 2) return;
    int mid = (begin+end)>>1;
    merge_sort(arr,begin,mid);
    merge_sort(arr,mid,end);
    merge_core(arr,begin,mid,end);
}   // Time O(logn)

其中arr[]为待排序数组，对于一个长度为N的数组，直接调用merge_sort(arr,0,N);则可以排序。

归并排序总体分为两步，首先分成两部分，然后对每个部分进行排序，最后合并。当然也可以分成三部分或其他，然而通常是分成两部分，因此又称为二路归并。merge_core可以将两个有序数组合并成一个，具体操作如图所示：

/* merge core: combine two parts which are sorted in ascending order
 * arr[]: ..., 1, 4, 8, 2, 3, 7, 9, ...
 *      begin__|        |__mid      |__end
 * part1: 1, 4, 8       part2: 2, 3, 7, 9 
 *
 * combination:
 * part1:[1]            [4]       [8]
 * part2: |   [2]  [3]   |   [7]   |   [9]
 *        |    |    |    |    |    |    |
 * tmp  :[1]  [2]  [3]  [4]  [7]  [8]  [9]
 *
 * at last, copyback tmp to arr[begin,end)
 * */

合并的前提是，两个数组已经是有序的。其代码为：

void merge_core(int arr[], int begin, int mid, int end)
{
    int i=begin, j=mid, k=0;
    int *tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*(end-begin));
    for(; i<mid && j<end; tmp[k++]=(arr[i]<arr[j]?arr[i++]:arr[j++]));
    for(; i<mid; tmp[k++]=arr[i++]);
    for(; j<end; tmp[k++]=arr[j++]);
    for(i=begin, k=0; i<end; arr[i++]=tmp[k++]);
    free(tmp);
}   // Time O(n), Space O(n)

其中第6,7两行，将剩余的部分追加到tmp[]中，然后将tmp[]写回到arr[]。因此，对于数组使用归并排序，需要辅助空间O(n)。由于是尾部调用merge_core，当然可以将其写入到merge_sort尾部，这里为了思路清晰，将其分成两部分书写。

2)链表的归并排序

事实上，归并排序更适合对链表排序，因为在合并两个链表时，不需要额外的辅助空间存储，而且也不需要对数据拷贝，直接移动指针即可。唯一的不便是：需要每次寻找到链表的中间节点，然后以此将该链表分割成两部分。寻找中间节点，可以定义两个指针fast和Mid，fast每次移动两步，mid每次移动一步，当fast到链表尾部时，mid此时处于链表中间（不用考虑奇偶情况）：

// Merge sort for single list as ascending order
// single list node define
typedef struct __ListNode
{
    int val;
    struct __ListNode *next;
}ListNode;
 
// Merge sort for single list without head node
ListNode *merge_sort(ListNode *head)
{
    if (head==NULL || head->next==NULL) return head;
    ListNode *fast, *mid, H;
    // find mid node between head and end
    for (H.next=head, fast=mid=&H; fast && fast->next;){
        mid = mid->next;
        fast = fast->next->next;
    }
    fast = mid->next;
    mid->next = NULL;    // cut down mid part from head list
    mid = fast;
 
    head = merge_sort(head);
    mid = merge_sort(mid);
    return merge_core(head,mid);
}

注意，找到链表的中间节点后，务必将其指向NULL，以保证确实将链表分成两部分。然后将两个链表head与mid进行合并。由于合并后可能会修改链表头结点，因此要返回新的链表头结点。下面是合并操作：

// merge single list without head node (ascending order)
ListNode *merge_core(ListNode *i, ListNode *j)
{
    ListNode H, *p;
    for (p=&H; i && j; p=p->next){
        if (i->val < j->val){
            p->next = i;
            i = i->next;
        }
        else{
            p->next = j;
            j = j->next;
        }
    }
    p->next = (i ? i:j);
    return H.next;
}