斯特林数

斯特林数的定义

斯特林数 $S(n,r)$ 表示将 $n$ 个球分配到 $r$ 个盒子中，且不允许有空盒子的放法数。斯特林数满足以下递推关系：

$$S(n,r)=r\times S(n-1,r)+S(n-1,r-1)$$

边界条件：

• $$S(n,0)=0\$\$（\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{盒}\mathrm{子}\mathrm{为}\mathrm{零}，\mathrm{则}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{合}\mathrm{法}\mathrm{的}\mathrm{分}\mathrm{配}）$$

• $$S(n,n)=1\$\$（\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{球}\mathrm{单}\mathrm{独}\mathrm{放}\mathrm{入}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{盒}\mathrm{子}）$$

$$\text{结果}=S(n,r)\times r!$$