05 Real-Time Physically-Based Materials

1. Microfacet BRDF

菲涅尔项：反射光线强度与入射角的关系。对于绝缘体而言，观察方向越是平行于平面，反射越强，图像越清晰；因为镜面反射可逆，所以反之亦然。对于金属而言，规律相似，但是变化没有绝缘体那么明显。菲涅尔项的值与角度以及两个介质的折射率有关，可以采用简化公式。

法线分布NDF(Normal Distribution Function)：微表面法线分布与半程向量一致时，最能反射入camera。通过法线分布的凝聚程度，可以模拟不同的材质。
模型有Beckmann和GGX。
Beckmann NDF：使用\(\alpha\)描述表面粗糙程度，值越小，NDF越收敛，表面越不粗糙。\(\theta_h\)是半程向量与法线夹角，可见各向同性，只与\(\theta\)有关。\(tan\theta_h\)是在slope space，实际上是在单位半球面上方的切面与shading point的连线长度，这样可以保证不会出现面朝下的微表面，如果使用\(\theta\)就会有可能超过90°。但是，仍然不能解决反射光朝下。将半球沿着法线方向投影为单位圆，相应的NDF也投影到圆上，下面的归一化项是保证在该空间中积分为1。
GGX or TR(Trowbridge-Reitz)：Beckmann类似于高斯，衰减很快，但是GGX也会很快衰减但是衰减速度会变慢，所以长尾。中间的值是高光，相应的长尾会造成光晕，则高光边缘的过渡带不尖锐。
GTR(Generalized Trowbridge-Reitz):通过\(\gamma\)参数，统一Beckmann与GGX，并且可以衍生出其他曲线。

Shadowing-Masking Term：微表面之间的自遮挡问题。越是掠射的入射光线或者视线越是会被遮挡。light遮挡成为shadowing，eye遮挡成为masking。因为有遮挡，所以要提供变暗，则从法线方向到grazing angle该值从1到很小。
由归一化项可知，当入射或者视线与法线接近垂直时，反射光会很强，则非常量的白色。因此需要该项。
该项与NDF相关。可见，角度比较小时没有很大影响，当接近垂直时迅速减小。其中，m是半程向量。

表面粗糙程度增大时，能量损失变严重。
越是粗糙，沟壑越深，反射光线越容易被遮挡，则多次弹射可能性越多，则该模型的能力损失越严重。然而事实上多次反射的能量也会最终出射，所以需要补偿能量。
Kulla-Conty Approximation
假设Li=1是uniform的，\(\mu\)为\(sin\theta\)则\(\mu d\mu d\phi=sin \theta cos \theta d \theta d \phi\)，则该式包含Li、BRDF、cos的反射方程。则积分结果为出射总能量，不同方向的出射能量不同，则E为mu的函数。相应的1-E就是损失的能量。因此考虑设计一个补偿的BRDF，是其积分为1-E(uo)，此外考虑到BRDF的对称性，再加入一项为1-E(ui)，然后做归一化C，需要积分为1。

相应的该BRDF为：

为了解决积分Eave花费，使用预计算。

效果如下：
但是如果有颜色，即合理的能量损失，积分本就小于1。所以，该方法先不考虑颜色，然后考虑到颜色造成的能量损失。
此外，对于菲涅尔项考虑到多次反射，定义了平均菲菲尼尔想。
相应的Eave是一次反射就可见的能量，所以1-Eave是多次反射的能量，用于对其归一化。
一次反射的能量(计入颜色损失)为FavgEavg，相应的多次反射有一个级数颜色项color term，将其乘到多次反射的能量上就可以得到多次反射的能量。
有的人会在BRDF上直接加diffuse项，即微表面加上diffuse。

BRDF是四维的，固定入射方向则变成二维，得到一个lobe对于一个多边形光源，常规方法是做采样。而LTC可以不必采样。

找到一个线性变换将BRDF lobe变成余弦分布。同样的，将多边形光源做同样的变换，会定义一个新的光源。意义在于，BRDF与光源都会变化，而通过变换之后BRDF就会固定，而经过线性变换后多边形光源仍然是多边形光源。此外，这个是有解析解的。
假设光源是常量，此外已经变换矩阵M，则将立体角替换并将BRDF替换为cosine，相应的替换后的立体角进一步微分得到Jacobi矩阵。其中，M通过预计算得到。
但是，这里不考虑阴影。

Boundary边界：不是两条面的公共边界
Crease折痕：两条面的公共边界
Material edge材质边界
Silhouette edge边界：在物体的轮廓上，并且是两条面的公共边界(C的子集)
shading方法：一般的，法线与观察方向夹角基本上接近90°时，可以看作在轮廓上，即Silhouette edge。通过设置角度阈值，存在不同的效果。如果不采取step，而是类似sigmoid可获得过渡带。问题在于法线变化平滑的地方，要比变化剧烈的地方更粗。
几何方法：另一个方法是，首先区分正面模型与背面模型，然后将背面模型扩大并指定为黑色，则形成轮廓。沿着边法线或者顶点法线扩张。
图像方法：后期处理，在图像上找到边界，如Sobel detector。

根据不同位置的明暗程度，转换成线条密度。此外，笔触需要时连续的，因此需要纹理来定义连续的笔触，然后通过密度去作查值。
设计不同密度的纹理，根据不同shading point的明暗来到不同纹理上查找，如果相连两个点相近则在同一纹理相邻位置查找，如果有过度也在不同纹理相近位置查找。
但是如果物体距离变化，那么纹理密度也会变化，因此采取mipmap，对每一种纹理密度都做一系列mipmap，按照距离进行选取，不管距离多远都在mipmap不同层级上做相同位置的查找。