03 Real-time Environment Mapping

1. Shading from Envionment Lighting -- Split Sum

使用IBL(image based lighting)做光照积分，不考虑visibility。
可以使用蒙特卡洛积分，但是需要做sampling，所以很慢。一般使用sampling的手段尽量避免在RTR中使用。
如果BRDF是glossy则support小，如果diffuse则smooth，则BRDF可以近似
则黄色框中被拆出的部分是对环境光的滤波Prefiltering。BRDF积分区域越大则滤波范围越大。可以采取MIPMAP来实现。在有计算需求的时候只做查询不做计算，不需要对光照做采样。
可见，只需要在镜面反射的方向查询MIPMAP的prefiltering后的某个值。对于漫反射而言，则是normal方向。
但是第二部分的采样积分尚未解决。
对于微表面，其BRDF如下，主要关注菲涅尔项与法线分布。
菲涅尔项可以近似为一种指数分布，与基础反射率R0和入射角度theta(在RTR中入射角、出射角、半角可以看做相同)两个变量参数有关。而在NDF项中，法线分布可以看作一种类似高斯的分布，同样的与alpha(标准差，即材质的diffuse或glossy程度)与thetah(halfvector与法线夹角，可以从入射角得到，可看作一个变量)。因此有三个变量，如果采取预计算就是一个三维预计算，还是比较复杂。
将R0从菲涅尔项中拆出来，那么BRDF积分就消除了对基础反射率的依赖。
因此，只考虑alpha与theta两个参数的二维分布，就可以得到两张二维纹理。可以将其保存在一张纹理的两个通道中。在计算时直接查询就可以了，那么消除了采样。

2. Shadow from Environment Lighting

3. Spherical Harmonics 球面谐波

定义在球面上的二维基函数，具有不同的频率，每种频率下具有不同的基函数。l越大，频率越高，对于不同的l，基函数有\(2\times l+1\)个，在不同的l上定义了编号-l~l，相应的前n阶有\(n^2\)个基函数。
通过product integral得到基函数的系数，即projection投影。相应的，得到系数之后可以反向恢复；一般的采取前几阶的基函数来做恢复，相当于丢弃了更高频的部分。一般的选中阶的基函数都会使用。
将diffuse的BRDF投影到球面谐波上只在低频部分(三阶)有明显的值。因此无论环境光多么复杂，其与diffuse物体的BRDF作用时，只有低频部分有明显的价值。
那么，只考虑使用球面谐波的低频部分来描述环境光照。对于diffuse材质，只需要使用前三阶来表示就可以了。

4. Precomputed Radiance Transfer(PRT)

将三个部分都做成问纹理，但是每一个shading point都需要做计算。
先拆成两部分，即光照与其他。再然后将lighting表示成基函数的表示。认为每个light transport的部分是不变的，即每个shading point的属性，可以预计算，作为一个球面函数。
dffuse情况下，BRDF是一个常值，可以提取出来。然后将light表示成球面基函数形式。相应的积分结果就是lighttransport的基坐标，这些基座标是常数，可以被预计算。因此，对于diffuse，只需要预计算出lighting的基系数，然后提取出预计算的参数，并作点乘。但是问题在于，light transport固定意味着visibility固定，即场景中的物体是固定的。此外，如果光源变化，预计算值也会变动，即光源也不可以变化。
基函数的性质。SH支持旋转，即旋转原始函数只需要通过旋转基函数来实现，而SH基函数在旋转之后不再是基函数，但是可以被同阶的基函数线性组合来描述，因此，基函数旋转只是在修改同阶基函数的系数。
将球面函数变换成基函数系数，只需要保存一个张量。
到目前为止，环境光照与shadow都实现了，但是全局光照还没有考虑进去。
预计算过程可以通过随机光线实现，可以花费大量时间。
另一个理解角度

5. Glossy Case

对于diffuse model，其BRDF在不同方向的出射是均匀的，所以只跟入射方向有关，即二维的，所以可以表示成球面函数，但是glossy的BRDF与出射方向有关，是一个四维函数。
那么，相应的将在i方向投影后的向量再次在o方向投影，就会得到一个矩阵。
相应的计算复杂度会增加。
如果非常接近镜面反射，就非常高阶了，直接做镜面反射就可以了。
可以预计算出任意复杂的弹射过程
从另一种角度看，Ti的预计算相当于使用某个基函数作为光照在shading point上得到的结果。
此外，BRDF还有可能与位置有关，即六维。