12 Geometry

关键点

• Mesh Subdivision（Loop Subdivision，Catmull-Clark Subdivision）
• Mesh Simplification（Edge Collapsing）
• Mesh Regularization

1. Mesh Operarions

1.1 Mesh Subdivision --Upsampling 细分

• 细分：把三角形数量增多
• 调整：改变三角形的位置

1.1.1 Loop Subdivision

• 每个三角形分成四个
  
• 对于新旧两种不同的顶点(各三个)分别改变其位置
  对于新顶点，除了边界情况之外，在两个三角形的共享边中点，则得到这两个三角形的原有点共享点(2)和不共享点(2)，对四个点加权平均更新位置。
  
  对于旧顶点，由自身位置与周围相邻的旧顶点加权平均得到。加权需要用到度数n(顶点相连边数)与相邻边权重u(其值取决于n)两个参数影响。
  

1.1.2 Catmull-Clark Subdivision

Loop细分只用于三角形，而这个方法可以用于一般网格。

概念定义

• Non-quad face 非四边形面 and quad face 四边形面
• Extraordinary vertex 奇异点 (度不是4)
  

步骤

• 在边上取中点，并在面内部取中点（重心或者其他），将他们通过面中点连起来。
  
  除了原本的奇异点之外，在非四边形内部加入的点是奇异点，并且其度数等于该面的边数。每一个非四边形面在引入奇异点之后都变成了四边形面，即所有非四边形面等量的变成了奇异点。所以，继续细分不会增加奇异点。
  
• 调整
  处于面中心的新点：用其面的顶点取均值；
  处于边上的新点：用其边的两个顶点和与之相连的两个面内新点求取均值；
  旧点：使用周围的面内新点、边上新点以及自己更新位置。
  

1.2 Mesh Simplification -- Downsampling 简化

在不同的情况下(比如距离)，可以选择不同复杂程度的模型，不一定得用精致模型。类比于mipmap这类纹理的层次结构，这个是几何的层次结构。

1.2.1 Edge Collapsing 边坍缩

原理

将边坍缩成点。

Quadric Error Metrics 二次误差度量

• 直接使用点取均值成点会使得形变变化过于明显，因此找一个最优位置，使得其与相关面距离的平方和最小。
  
• 同理，每一条边都会有一个坍缩的二次度量误差，那么从小到大坍缩边。
• 但是坍缩边之后会影响其他边的二次度量误差，因此希望一个数据结构，可以直接取出最小值，并且动态更新任何一点的二次度量误差，所以使用堆。
• 可知这种方法是贪心算法，不能保证全局最优，但是实际情况下默认可行。

1.3 Mesh Regularization 正则化

来源

[1]Games101. 闫令琪