04 Viewing Transformation

关键点

ModelView Transformation Matrix (1-3)
Orthographic Projection Matrix (4)
Perspective Projection Matrix (5-6)

1. View/Camera/ModelView Transformation

MVP（model transformation -> view transformation -> projection transformation）
Camera define (Position e, look at/gaze direction g, up direction t)
考虑到相机拍摄结果是相机与物体的相对结果，所以固定相机与固定物品效果一样，固定标准如下：
将相机运行(e,g,t)变换到相机固定(0,-z,y)
首先进行平移，(xe,ye,ze)到原点(0,0,0)：

\[T_{view}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\tag{1} \]

然后进行旋转，g->-Z, t->Y, gxt->X，直接求解旋转矩阵比较复杂，所以求其逆矩阵（-g<-Z, t<-Y, gxt<-X），可以直接由g与t的向量表示得到，同时考虑到旋转矩阵的逆矩阵是其转置，得到旋转矩阵：

\[R_{view}= \left[ \begin{matrix} x_{\vec{g}\times\vec{t}} & y_{\vec{g}\times\vec{t}} & z_{\vec{g}\times\vec{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\tag{2} \]

得到视图变换矩阵:

\[M_{view}=R_{view}T_{view}\tag{3} \]

视图变换矩阵是世界固定坐标系（物理意义直观）向相机固定坐标系（便于投影）转换的变换矩阵，在相机运动坐标系下可以通过相机位置得到视图变换矩阵，通过该矩阵可以得到所有物体在相机固定坐标系下的位置。

2. Projection Transformation

Orthographic projection 正交投影 and Perspective projection 透视投影
比起正交投影，透视投影可以造成近大远小的效果。
对于透视投影，入射光线是锥形；对于正交投影，入射光线是平行的，即相机无限远。

2.1 Orthographic projection

对空间中某一个立方体空间作正交投影：

定义一个空间立方体，即定义左右下上远近的六个位置[l,r]x[b,t]x[f,n]（分别为xyz坐标，其中left<right,bottom<top,far<near(因为-z)，符合右手）；然后映射到标准立方体[-1,1]^3（先平移中心到原点，再缩放）。
变换矩阵如下：

\[M_{ortho}= \left[ \begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{l+r}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{b+t}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{f+n}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\tag{4} \]

2.2 Perspective projection

2.2.1 投影

规定近平面不变、远平原z轴位置不变、远平面中心位置不变，压缩远平面，然后进行正交投影。

首先进行压缩：

由齐次坐标中点的一致形式，将压缩结果中的各个已知维度表达为原坐标的乘积形式：

那么，就可以使用矩阵变换来表示：

相应的变换矩阵为：

同时，考虑到z坐标的映射等于自身（不是坐标一样，而是表示齐次坐标下的同一z轴位置），可以得到近平面的关系：

此外，由于中心点映射自身，得到远平面：

可得：

最终得到：