2021.12.04【NOIP提高B组】模拟赛 题解

今天的比赛结束了，总体来说还不辍，但仍需改进。
那就来看下今天的题目吧。

T1 非整除序列

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Description

定义\(S(N)\)为最小的不能整除N 的正整数，接下再计算\(S(S(N))\)、\(S(S(S(N)))\)
直到得到数字2。定义\(strength(N)\)为上述过程得到的序列长度。
如N=6 时得到的序列为6，4，3，2，\(strength(6)=4\)
给定两个正整数A，B，A<b，计算\(strength(a)+strength(a+1)+...+strength(b)\)

input

一行输入两个数A，B , 3<=A<b<=10¹⁷

output

输出\(strength(A)+strength(A+1)+...+strength(B)\)的值。

Sample Input

input 1：

3 6

input 2：

100 200

Sample Output

output 1：

11

output 2：

262

Data Constraint

100%的数据满足3<=A<b<=10¹⁷

题目大意及模型转换：

一张由10¹⁷个结点组成的树，2是根节点。编号\(i\)的父亲为\(j\)，其中满足\(i\)是\(1~j-1\)中任意一个数的倍数，但不是\(j\)的倍数。询问区间\(a~b\)，算出其中每个节点到根节点的距离和。

一种思路：

发现如果\(i\)满足父亲节点为\(j\)，那么\(i\)一定是\(g[j-1]\)的倍数，而不是\(g[j]\)的倍数。其中\(g[i]="lcm(1..i)\)那么预处理出\(g\)数组，并得到结论：大于41的数，父亲一定小于等于41。那么好办了，可以暴力求出1~41中每个数的f值（\(f[i]\)表示\(i\)到根节点的距离），那么如果\(i\)的父亲为\(j\)，\(f[i]\)就为\(f[j]+1\)"

继续想下去：

现在，考虑枚举一个\(i\)，然后找出区间\(a~b\)有多少数的根节点为i。也就是说，要找出区间中有多少个数是\(g[i-1]\)的倍数却不是\(g[i]\)的倍数。这个不好搞，因为有两个约束。1、是\(g[i-1]\)的倍数。2、不是\(g[i]\)的倍数。我们发现\(g[i]\)一定是\(g[i-1]\)的倍数，那么不是\(g[i-1]\)的倍数，一定不是\(g[i]\)的倍数。那么同时满足两个约束的，就是不是\(g[i]\)的倍数的个数减去不是\(g[i-1]\)的倍数的个数。完全可以用\(h[i]\)表示枚举到i是找出的区间中有多少个数是\(g[i-1]\)的倍数却不是\(g[i]\)的倍数，\(h[i]="tmp-h[i-1]\),\(tmp\)为不是\(g[i]\)的倍数的个数。"

计算个数：

对于区间\(a~b\)，要找不是\(g[i]\)的倍数有多少个。我们先找出一对\(l~r\)，其中\(l\)是\(g[i]\)的倍数且\(l="">=A\)，\(R\)是\(g[i]\)的倍数且\(R<=B\)。找不出满足条件的\(L，R\)，那么个数一定是\(B-A+1\)。否则，个数是\(B-R+L-A+(R-L)/g[i]*(g[i]-1)\)。易证，每\(g[i]\)个就有\(g[i-1]\)个不是\(g[i]\)的倍数，然后再统计两边余下部分。