[洛谷P4777] [模板] 扩展中国剩余定理

扩展中国剩余定理，EXCRT。

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重温一下中国剩余定理。

中国剩余定理常被用来解线性同余方程组：

x≡a[1] (mod m[1])

x≡a[2] (mod m[2])

......

x≡a[n] (mod m[n])

但是中国剩余定理只能解决m[1]、m[2]......m[n]两两互质的情况。

对于m[1]、m[2]......m[n]不两两互质的情况，我们需要用其它的方法解决。

假设我们已经处理到了第i个方程，设ans为前i-1个方程的解，ms为m[1]*m[2]*...*m[i-1]。

那么前i-1个方程组的通解为ans+t*ms(t为任意值)。

而这些解不是都满足第i个方程。

所以我们需要求出一个k，使ans+k*ms≡a[i](mod m[i])。

设c=a[i]-ans，原同余方程转换为不定方程：k*ms+kk*m[i]=c（kk不重要）。

使用exgcd求解即可。

由不定方程的性质，如果(a[i]-ans)不能被gcd(ms,m[i])整除，则无解。

若有解，令c/=gcd(ms,m[i])，m[i]/=gcd(ms,m[i])。

k=k*c（注意要mod m[i]）求出k的最小非负解（这道题需要快速乘防爆long long）。

最后更新一下：ans=ans+k*ms，ms=ms*m[i]，并让ans取模新的ms得到最小解。

对于初值：ans=a[1]（显然满足第一个方程），ms=m[1]。

然后从第二个方程开始算就好了。

#include<cstdio>
#define ll long long

int n;
ll a[100005],m[100005];
ll ms,ans;

ll exgcd(ll ea,ll eb,ll &x,ll &y)
{
    if(!eb)
    {
        x=1,y=0;
        return ea;
    }
    ll ret=exgcd(eb,ea%eb,y,x);
    y-=ea/eb*x;
    return ret;
}

ll mul(ll x,ll y,ll mod)
{
    ll ret=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
    ans=a[1],ms=m[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll k,kk;
        ll c=((a[i]-ans)%m[i]+m[i])%m[i];
        ll g=exgcd(ms,m[i],k,kk);
        //if(c%g)return 0;
        m[i]/=g,c/=g;
        k=mul(k,c,m[i]);
        ans=ans+k*ms;
        ms*=m[i];
        ans=(ans%ms+ms)%ms;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}