算法学习笔记：树状数组/线段树

树状数组

1. 支持单点修改和区间查询两个操作，单次操作O(logⁿ)
2. tr[x]数组存的是原数组在区间 ( x-lowbit(x), x] 上的和
3. 若要将一个数x变为v，则将x+(-x)+v，即加上v-x

模板如下：

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// 建立树状数组
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i]);
//lowbit操作
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
//单点修改，x为下标，v为要加的数
void add(int x, int v)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}
//区间查询，查询结果为原数组区间[1, x]的和，x为下标
int query(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

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线段树

1. 区间[L, R]划分为[L, Mid]和[Mid+1, R], Mid = $\lfloor$$\frac{L+R}{2}$$\rfloor$
2. 单点修改和区间查询单次操作O(logⁿ)
3. 单点修改：
4. 区间查询：只返回[L, R]完全包含u区间的值，若没有完全包含该区间，则继续递归
5. 下标为x的点，父节点为x>>1，左儿子为x<<1，右儿子为x<<1|1
6. 下标从1开始

模板如下：

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// 结构体定义线段区间，最多为4n个
struct Node
{
    int l, r;
    int sum;
}tr[N * 4];
// 用子节点信息更新当前节点信息，可能会被省略到程序内部去
void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}
//在一段区间上初始化线段树
void build(int u, int l, int r)
{
    if (l == r) tr[u] = {l, r, w[r]};
    else
    {
        tr[u] = {l, r};
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}
//查询区间[L，R]的和
int query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    int sum = 0;
    if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
    return sum;
}
//修改，x为要修改点的下标
void modify(int u, int x, int v)
{
    if (tr[u].l == tr[u].r) tr[u].sum += v;
    else
    {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}