Quantitative Method 6

R6：Hypothesis Testing

Ⅰ、Concepts in Hypothesis Testing：假设检验的一些概念

1、Hypothesis Testing：假设检验

假设检验用于双重检查从样本估计的总体参数值。

    这是一个典型的“反证”过程

    首先对总体做出某种假设性陈述，然后通过对样本统计数据的测试来证明它是错误的

2、Null / Alternative Hypotheses：原假设和备择假设

原假设（H0）是要检验的假设。

    这是我们想要通过检验来拒绝的假设

    它总是包含等号(=/≥/≤)

        H0：全球股市平均回报率=10%

        H0：平均身高≥170cm


备择假设（Ha）与原假设相反。

    这是我们想要接受的假设

    它不包括等号(≠/</>)

        Ha：全球股市平均回报率≠10%（双向）

        Ha：平均身高<170cm（单向）

单向检验反映了研究员对检验结果已经有了一个明确的预判

3、Test Statistics：检验统计量

检验统计量是基于样本计算的数量，其值是决定是否拒绝原假设的基础。

4、Significance Level（α）：显著水平

显著性水平（α）在检验之前设置的，它反映了我们需要多少样本证据来拒绝原假设。

    通常设置为0.01、0.05或0.10，相应的临界值为：±2.58、±1.96、±1.65

5、Two-tailed Test / One-tailed Test：双尾检验和单尾检验

α越高，越容易拒绝原假设，接受备择假设

单尾监测，统计量的符号方向与备择假设的符号方向相同

6、Type Ⅰ Error / Type Ⅱ Error：Ⅰ类错误和Ⅱ类错误

Ⅰ类错误的出现是我们拒绝了一个为真的原假设（原假设是真的，但是我们拒绝了）

Ⅱ类错误的出现是我们无法拒绝一个为假的原假设（原假设是假的，但是我们无法拒绝）

原假设为True时，对应的是α和1-α

原假设为False时，对应的是β和1-β

犯Ⅰ类错误的概率记为α，它等于显著水平。

犯Ⅱ类错误的概率记为β：

    (1-β)叫做检验力，它是当原假设为假时，拒绝了原假设的概率

    β的值很难计算，但是α和β成反向关系

    α↓—>减少犯Ⅰ类错误的概率—>增加犯Ⅱ类错误的概率—>β↑

7、p-value Decision Rules：p值判定原则

p值是原假设能被拒绝的最小显著水平

p值是检验统计量对应的尾巴面积

如果p值<α，拒绝原假设；如果p值≥α，不能拒绝原假设

    p值可以提供更精准的信息和更有力的信心拒绝原假设

    p值不区分单双尾

8、Statistical Significance：统计显著

统计检验结论：

    如果拒绝原假设，我们称该结果在统计上显著

经济/投资结论：

    统计显著不代表经济显著，因为现实中存在交易成本、税负、风险

9、Significance on Multiple Tests：显著性的多次检验

Ⅱ、Tests Concerning Mean：关于均值的检验

关于单个总体均值的检验：用z检验或t检验

为了检验两个总体之间的平均值是否存在显著差异，我们通常使用t检验。

当总体近似满足正态分布，且样本彼此独立时，我们对均值之间的差进行检验。

先统计，后比较

如果两个总体的方差未知，假设它们相等的情况（例如来自同一个市场，不同时期的收益）

如果两个总体的方差未知，假设它们不相等的情况

当两个总体近似满足正态分布，且样本之间不独立时，我们对均值差进行检验。

这里的t检验称为配对比较检验。

先比较，后统计，d是新样本数据，使用单个均值的t检验

Summary：

Ⅲ、Tests Concerning Variance：关于方差的检验

关于单个方差的检验，假设总体满足正态分布，使用卡方检验

关于两个总体的方差检验，假设总体都满足正态分布，使用F检验

F检验永远使用较大的样本方差除以较小的样本方差

只需要看右侧的临界值即可，因为左边的临界值取不到

Summary：

Ⅳ、Parametric vs. Non-parametric Tests：参数检验和非参数检验

参数检验有两个特点：

    它们与参数有关

    它们的有效性取决于一组确定的假设

        均值检验时，假设整体满足正态分布


非参数检验：

    与参数无关或对总体进行最少的假设

使用非参数检验的情况：

1、数据不满足分布假设

    总体的分布情况未知

2、存在极端值

    对中位数使用非参数检验替代对均值的检验

3、数据是序数

4、原假设和备择假设不是关于参数的

    原假设：某个策略是能带来最高年收益率的

Ⅴ、Tests Concerning Correlation：关于相关系数的检验

通过检验两个变量的相关系数显著不等于0来评估它们之间的线性关系的程度

参数检验：皮尔森相关系数检验

非参数检验：斯皮尔曼相关系数检验

样本数据排序：

    将数据从最大值排序到最小值，最大值为1，第二大值为2；

    当值相等时，排名=平均数（如果第二大值和第三大值相等，则两者的秩均为1.5）

设d为每对数据排名之间的差

样本容量为n的斯皮尔曼相关系数公式如下：

当面对分类或离散数据时：

使用基于列联表的独立性检验

例如：检验公司规模和投资策略之间的关系

Oij是表中观察值，Eij是假设两个变量独立时的共同发生概率

原假设是变量之间独立，independent

拒绝域是单侧检验