Derivatives 5

R49: Basics of Derivative Pricing and Valuation-3

Ⅲ、Pricing and Valuation of Options：期权的定价和估值

1、European Option Pricing：欧式期权定价

1.1 Value of a European option at expiration：到期时欧式期权的价值

期权的价值由内在价值和时间价值组成，只要没到期，即使期权目前是价外虚值状态，那么其价值也不是0，因为其在还未到期的那段时间内标的资产价值还会存在波动，价格趋势还可能出现转运，理论上存在翻盘的希望

到期时欧式期权的价值：

欧式看涨期权：

对于看涨期权，持有人有权以执行价格X买入标的证券。

欧式看涨期权的内在价值为：c = Max（0，ST-X）

    如果看涨期权值得行权（即ST>X），持有人支付X并收到价值为ST的资产，期权价值为ST-X；

    如果看涨期权不值得行权（即ST<X），期权将到期自动作废，价值为0。

到期时欧洲看涨期权的价值为行权价值，即零或标的资产价值减去行权价格中的较大者。

到期时欧式期权的价值：

欧式看跌期权：

对于看跌期权，持有人有权以执行价格X卖出标的证券。

欧式看跌期权的内在价值为：p = Max（0，X-ST）

    如果标的证券到期时价值低于X（即X>ST），则该看跌期权将被行权并价值X-ST。

    如果标的资产等于或超过到期时的行权价格（即ST≥X），看跌将在到期时自动失效，没有任何价值。

到期欧式看跌期权的价值为行权价值，即零或行权价格减去标的资产价值中的较大者。

1.2 Effect of the value of the underlying：标的资产价值对期权价值的影响

看涨期权可以被视为获取标的资产的一种手段，因此，如果标的资产价值更高，那么看涨期权在逻辑上就更有价值。

看涨期权的价值不能超过标的资产的价值，因为看涨期权只是获取标的资产的一种手段，ST-X ≤ ST。

因此，标的资产的价值构成了看涨期权价值的上限，但是这个标的资产的价值理论上是可以无限大的。

    你不会愿意为600美元的NVIDIA股票支付800美元

欧式看涨期权的价值与标的资产的价值正相关。

1.3 Effect of the exercise price：行权价格对期权价值的影响

行权价格是标的证券为证明行权正当性而必须逾越的障碍。

对于看涨期权，标的资产必须高于行权价格

对于看跌期权，标的资产必须低于行权价格

当标的资产在适当的方向超执行价格时（看涨期权的价格较高，看跌期权的价格较低），期权就被称为是价内实值

    英伟达目前的股价是500美元，一种行使价为450美元的看涨期权或一种行使价为550美元的看跌期权

1.4 Effect of time to expiration：剩余到期时间对期权价值的影响

理论上剩余到期时间越长，期权的总价值越高，因为转运的可能性越高，随着剩余到期时间的缩短（time decay），期权的总价值会不断下降，所以不建议投机者长期持有期权

剩余到期时间对期权价值的影响：

看涨期权：无疑受益于额外的时间

    2020年到期的NVIDIA的执行价格600元的看涨期权价值肯定低于2021年到期相应看涨期权，因为额外的到期时间提供了进一步的机会，使标的资产价格上升到执行价格之上。


对于欧式看跌期权，额外的时间仍然为标的价格下跌到行权价格以下提供了更多的机会，但如果看跌期权到期时是价外虚值状态，溢价的有限损失会减轻其标的资产价格上升到行权价格以上的额外风险。

剩余到期时间对期权价值的影响：（续）

对于看涨期权，持有人在到期时等待以执行价格付款。更多的剩余到期时间会降低这项即将支出的现值（固定的执行价格X，剩余到期时间越长，折现到现在的现值就越低）。因此，在这方面，更长的剩余到期时间有助于看涨期权买家。


总结：

欧式看涨期权的价值与剩余到期时间直接相关。

欧式看跌期权的价值可以与剩余到期时间直接或反向相关。直接效应更为常见，但反向效应可能在看跌期权中占主导地位，剩余到期时间越长，无风险收益率越高，且标的资产价格处在深度价内实值状态（一般这种情况认为价格已经到底了，不会再进一步下跌，目前的获利幅度最大，未来只会朝不利于自己的方向反弹了）。

深度价内状态，无风险收益率越高，剩余到期时间越长，导致执行卖价X的现值更低，同时具备这3点时对看跌期权买家更不利

1.5 Effect of the risk-free rate of interest：无风险收益率对期权价值的影响

欧式看涨期权的价值与无风险利率成正比

无风险利率的影响：

看涨期权：

到期时间较长意味着行使价格支出的现值较低。

换言之，随着到期时间的延长，看涨期权持有人继续赚取利息，这些利息可以在行使期权后用于支付行权价格。

欧式看涨期权的价值与无风险利率成正比。

欧式看跌期权的价值与无风险利率成反比

无风险利率的影响（续）

看跌期权：

到期时间越长，利率越高，行权时收到行权价格的现值越低。

因此，今天看跌期权持有人在到期时可能收到的价值较低。

欧式看跌期权的价值与无风险利率成反比。

1.6 Effect of volatility of the underlying：标的资产价格波动性对期权价值的影响

标的资产波动性的影响

然而，对于期权而言，标的资产的波动性是普遍需要的。标的资产的波动性越大，期权的价值就越高。

对于看涨期权，更高的波动率意味着：

    看涨期权到期时标的资产价格越高，其回报越高。

    因为标的资产有更大的可能获得巨额正回报。

如果看涨期权到期时标的资产低于行权价格，则其收益为零。

    如果我们施加更大的波动性，零回报不会受到影响。

对于看跌期权，较高的波动率意味着：

    看跌期权的回报率越高，标的资产价格越低。

        因为更大的正回报将有更大的机会发生。

如果看跌期权到期时标的资产高于行权价格，则其收益为零。

    零回报不受影响。到期时期权的价外虚值状态的大小是无关紧要的。

我们在本节中总结如下：

    欧式看涨期权的价值与标的资产的波动性直接相关。

    欧式看跌期权的价值与标的资产的波动性直接相关。


时间和波动的综合效应：

    时间价值导致期权价格随着波动性和时间的增加（转运的可能）而增加，但随着到期时间的临近而下降。

    时间价值 = 期权的总价格 - 内在价值

1.7 Effect of payments on the underlying and the cost of carry：标的资产携带成本和货币收益对期权价格的影响

ST = （S0 + cost of carry - monetary benefits）×（1+rf）^T

cost of carry 增加，导致标的资产价格ST增加，使看涨期权价值增加，看跌期权价值下降

monetary benefits 增加，导致标的资产价格ST下降，使看涨期权价值下降，看跌期权价值增加

Summary：

2、Lowest prices of calls and puts：看涨期权和看跌期权的最低价格（intrinsic value）

2.1 Synthetic call：合成的看涨期权（通过融资半复制）

假设标的资产价值为S0。还假设你借入一笔现金，购买标的资产，承诺在T时期后以r的利率偿还X。因此 X/（1+r）^T是借入金额，X是要偿还的金额。

到时间T，标的资产的价格为ST。偿还贷款后，即偿还X，卖出标的资产获得ST，整体策略的价值为 ST-X ，可以是正的，也可以是负的。

价外虚值时：call的价值大于leveraged transaction的价值

价内实值时：两者相等

leveraged transaction是半复制的call option，本质是期初借入一笔现金 X/（1+rf）^T，花钱购买标的资产 -S0，到T时刻，卖出标的资产 ST，偿还现金 -X。

C0的价值必须至少等于杠杆交易的价值：

C0 ≥ S0 - X/（1+r）^T

看涨期权的价值永远不会低于零，因为持有人不能被迫行使看涨期权。因此，我们倾向于将这种关系表示为：

C0 ≥ Max[0，S0 - X/（1+r）^T]（0-T时刻任意时间的 intrinsic value，也是call option的底线价值）

2.2 Synthetic put：合成的看跌期权（通过融券半复制）

假设我们想从标的资产价格下跌中获利，一种方法是卖空标的资产，在0时刻借入股票，立刻卖出，获得S0。假设我们这样做，并将现金投资于无风险债券，在T时刻获得收益X。

当时，鉴于标的的的价格ST，支付 -ST 购买标的资产以弥补卖空。债券到期收入 X。因此，总收益为 X-ST。

价外虚值时：put的价值大于short sale and bond purchase的价值

价内实值时：两者相等

short sale and bond purchase是半复制的put option，本质是期初借入标的资产立刻卖掉获得 S0，购买债券等形式借出一笔钱 -X/（1+r）^T，到T时刻，买回标的资产 -ST，收回借出的现金 X。

P0 ≥ Max[0，X/（1+r）^T - S0]（0-T时刻任意时间的 intrinsic value，也是put option的底线价值）

Summary：

3、Put-call parity：看涨-看跌期权平价

3.1 Protective put：保护性看跌

保护性看跌期权：小金持有一项资产，其现货价格为S0。假设在持有期T结束时，资产价值为ST。

为了对冲资产的下行风险，小金购买了一个行使价为X的看跌期权，这使他能够在T时间以X的价格出售资产。该看跌期权收取P0的期权费。投资组合目前价值为S0+P0。

假设买入的标的资产0时刻价值是0，到T时价值是ST，收益是 ST-0

买入的看跌期权收益是Max（X-ST，0）

3.2 Fiduciary call：信用看涨

信用看涨期权：小友，在0时刻，购买该资产的看涨期权，执行价格为X，在T到期。同时购买无风险零息票债券面值为X，在T到期。看涨期权成本为C0，债券的现值 X/（1+r）^T。

所以小友投资了 C0+X/（1+r）^T 的资金。

3.3 Put-call parity：看跌看涨期权平价公式

我们发现了一些有趣的事情：保护性看跌期权和信用看涨期权产生了相同的结果。回想一下，小金承诺的资金为S0+P0，而小友承诺的资金为C0+X/（1+r）^T。

如果两个投资者在T时获得相同的回报，而不考虑T时的资产价格，那么他们在0时的投资金额必须相同，因此，我们要求：

看跌看涨期权平价公式：

S0 + P0 = C0 + X/(1+r)^T

在任意时刻，protective put 和 fiduciary call 价值都相等

定价不一致时出现套利机会

<1> 一定是再期初同时买低和卖高，借钱买低，借东西卖高，然后把钱还给借的一方，东西在到期时买回还给出借方

<2> 套利利润一定是在期初就实现了

 

复制的看涨看跌期权平价公式：

这里的long和short不代表头寸，只是只买和卖后面的资产（例如long put，是买一份看跌期权，头寸是short）

3.4 Put-call-forward parity：看涨看跌期权远期平价公式

当标的资产无法购买时，例如股指，则使用股指的远期定价折现的现值作为标的资产的价格S0

现实中操作， 例如购买股指

通过复制的方式替代S0：

花钱S0买无风险收益是FP的bond，到期获得FP

买入forward，到期收益 ST-FP

到期时的S0就变为ST，达到了购买标的资产的效果

4、Binomial Valuation of Options：期权的二叉树估值模型

二叉树模型：

期权的收益由标的物决定，如果我们知道标的物的结果，我们就知道期权的收益。如果我们只允许两种可能的运动，一种是从现在的位置上升，一种是从现在的位置下降。具有两种可能结果的模型称为二叉树模型。

从基本的S0开始，让它上升到Su（概率为q）或下降到Sd（概率为1-q）；

我们将这些变动所隐含的回报指定为上行乘数u和下行乘数d。其中：

u = 1+涨幅，d = 1-跌幅

我们的目标是定C0。

标的资产的价格比期权的价格高好多，所以标的资产价格变化很小一个比例时，期权价格需要波动很大一个比例才能让两者变化值相同。

h是hedge ratio，即 V+ = V-，不论上涨还是下跌，收益都相等，即只能获得无风险收益率

此时代表卖出1份call，需要相应配置h份股票

h = （Cu - Cd） / （Su - Sd）

人造概率算C0

二叉树模型期权定价中，包含了波动的影响，π中的u-d就是，同时也包括了剩余到期时间的影响，折现部分就是。

然后我们得到了期权价格的公式：


如果波动性增加，S+和S-之间的差异会增加，从而扩大c+和c-之间的范围，从而导致更高的期权价值。

期权的估值就好像投资者是风险中性的（与实际概率无关的被一组风险中性概率或人造概率的相关性所取代）。然后以无风险利率贴现。

二叉树定价套利

看跌期权 P0 的定价

5、American Option Pricing：美式期权定价

美式期权和欧式期权之间的差异：

美式期权具有欧式期权的所有特征和一个附加特征：

    可在到期前的任何时间行权。

    提前行使的权利肯定不能产生负面价值。因此，美式期权的售价不低于欧式期权。

美式看涨期权在股票不分发股利的前提下，提前行权的价值永远小于等于持有至到期时的价值。

只有分配股利时，股价下跌，有可能使提前行权获得的价值高于持有至到期时的价值。

在T0和t时刻，美式看涨期权提前行权的价值都比继续持有至到期要低，此时如果预期未来股价要跌，可以将期权卖掉，也比提前行权的价值高

在T时刻，两者价值一样

美式看跌期权，没有特殊条件下，提前行权比持有至到期可能更有价值，也可能没有价值；

在深度价内实值状态下，美式看跌期权提前行权一定是比持有至到期更有价值的；

分配股利，不会使美式看跌期权提前行权，因为分配完股利之后股价下跌，看跌期权更有利。

在T0和t时刻，美式看跌期权提前行权的价值可能比继续持有至到期要高，需要满足 X-S0 比 X/(1+r)^t - ST 多的部分大于未来的时间价值，否则提前行权不利

在深度价内实值状态下，未来时间价值约等于0，所以肯定是 X-S0 比 X/(1+r)^t - ST 要大，提前行权一定有利

在T时刻，两者价值一样

6、Summary