图像处理学习笔记-07-小波和多分辨率处理02

一维小波函数

小波级数展开、离散小波变换、连续小波变换分别对应着傅里叶域里面的傅里叶级数展开、离散傅里叶变换、积分傅里叶变换

小波级数展开

对\(f(x) \in L^2\)，可以在子空间\(V_{j_0}\)中用尺度函数展开和在子空间\(W_{j_0},W_{j_0 + 1},\cdots\)中用某些数量的小波函数展开来表示：

\[f(x) = \sum_kc_{j_0}(k)\varphi_{j_0,k}(x) + \sum_{j = j_0}^\infty\sum_kd_j(k)\psi_{j,k}(x) \]

其中\(j_0\)是任意的开始尺度，\(c_{j_0}(k)\)称为近似和或尺度系数，\(d_j(k)\)称为细节和或小波系数，如果展开函数形成正交基或紧框架，那么系数可以如下计算：

\[c_{j_0}(k) = \left<f(x),\varphi_{j_0,k}(x)\right> = \int f(x)\varphi_{j_0,k}(x)dx \\ d_j(k) = \left<f(x),\psi_{j,k}(x)\right> = \int f(x)\psi_{j,k}(x)dx \]

如果展开函数是双正交基的一部分，这些等式中的\(\varphi,\psi\)需要用其对偶函数来代替

离散小波变换

对应离散函数\(f(n) = f(x_0 + n\Delta x),n = 0,1,2,\cdots,M-1\)，对连续函数\(f(x)\)的小波级数展开系数就变为序列\(f(n)\)的正向离散小波变换DWT系数：

\[W_{\varphi}(j_0,k) = \frac{1}{\sqrt M}\sum_nf(n)\varphi_{j_0,k}(n) \\ W_\psi(j,k) = \frac{1}{\sqrt M}\sum_n f(n)\psi_{j,k}(n),j \geq j_0 \]

在这些等式中，\(\varphi_{j_0,k}(n),\psi_{j,k}(n)\)是基函数\(\varphi_{j_0,k}(x),\psi_{j,k}(x)\)的取样形式，反向DWT是：

\[f(n) = \frac{1}{\sqrt M}\sum_kW_\varphi(j_0,k)\varphi_{j_0,k}(n) + \frac{1}{\sqrt M}\sum_{j = j_0}^\infty\sum_kW_\psi(j,k)\psi_{j,k}(n) \]

通常取\(j_0 = 0,M = 2^J\)为2的幂，在上式中，\(n = 0,1,2,\cdots,M-1,j = 0, 1,2,\cdots,J-1,k = 0,1,2,\cdots,2^j - 1\)，对于哈尔小波，变换中采用的离散尺度和小波函数即基函数和之前\(M \times M\)的哈尔变换矩阵的行相对应，上面的式子只对正交基和紧框架有效，对于双正交基，需要使用相应的对偶函数

连续小波变换

连续的平方可积函数\(f(x)\)的连续小波变换与实数值小波\(\psi(x)\)的关系定义为：

\[W_{\psi}(s,\tau) = \int_{-\infty}^\infty f(x)\psi_{s,\tau}(x)dx \]

其中：

\[\psi_{s,\tau}(x) = \frac{1}{\sqrt{s}}\psi\left(\frac{x - \tau}{s}\right) \]

\(s,\tau\)分别是尺度参数和平移参数，给定\(W_\psi(s,\tau)\)，就可以使用连续小波反变换得到\(f(x)\):

\[f(x) = \frac{1}{C_\psi}\int_0^\infty\int_{-\infty}^\infty W_\psi(s,\tau)\frac{\psi_{s,\tau}(x)}{s^2}d\tau ds \]

其中：

\[C_\psi = \int_{-\infty}^\infty\frac{|\mathbf{\Psi}(\mu)|^2}{|\mu|}d\mu \]

\(\mathbf{\Psi}(\mu)\)是\(\psi(x)\)的傅里叶变换

快速小波变换FWT

类似于子带编码方案，首先考虑多分辨率详细的等式：

\[\varphi(x) = \sum_n h_\varphi (n)\sqrt{2}\varphi(2x - n) \]

用\(2^j\)对\(x\)尺度化，用\(k\)对它平移，并令\(m = 2k + n\)，给出：

\[\begin{aligned} \varphi(2^j x - k) &= \sum_kh_\varphi(n)\sqrt{2}\varphi(2(2^jx - k) - n) \\ &= \sum_nh_\varphi(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j + 1}x - 2k - n) \\ &= \sum_mh_\varphi(m - 2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j + 1}x - m) \end{aligned} \]

相似的可以得到小波函数：

\[\psi(2^j x - k) = \sum_mh_\psi(m - 2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j + 1}x - m) \]

有小波定义式如下：

\[d_j(k) = \int f(x)2^\frac j2\psi(2^j x - k)dx \]

综合起来：

\[d_j(k) = \int f(x)2^\frac j2\left[\sum_mh_\psi(m - 2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j + 1}x - m)\right]dx \]

交换积分和求和的顺序：

\[d_j(k) = \sum_m h_\psi(m - 2k)\left[\int f(x)2^{\frac{j + 1}{2}}\varphi(2^{j + 1}x - m)\right] \]

可以看到括号中的量为\(j_0 = j + 1,k = m\)时的\(c_{j_0}(k)\)：

\[d_j(k) = \sum_m h_\psi(m - 2k)c_{j + 1}(m) \]

也就是尺度\(j\)的细节系数是尺度\(j + 1\)的近似函数的系数，类似的可以得到：

\[c_j(k) = \sum_mh_\varphi(m - 2k)c_{j + 1}(m) \]

当\(f(x)\)为离散函数的时候，因为小波级数展开的系数\(c_j(k),d_j(k)\)变为DWT的系数\(W_\varphi(j,k),W_\psi(j,k)\)，所以：

\[W_\psi(j,k) = \sum_mh_\psi(m - 2k)W_\varphi(j + 1,m) \\ W_\varphi(j,k) = \sum_mh_\varphi(m - 2k)W_\varphi(j + 1, m) \]

上式揭示了相邻尺度DWT系数间的关系，DWT的系数\(W_\varphi(j,k),W_\psi(j,k)\)可以用\(W_\varphi(j + 1, k)\)分别与顺序倒置尺度和小波向量\(h_\varphi(-n),h_\psi(-n)\)进行卷积操作，然后对结果进行下采样来计算：

\[W_\psi(j,k) = h_\psi(-n) ★ W_\varphi(j + 1, n)|_{n = 2k,k\geq 0} \\ W_\varphi(j,k) = h_\varphi(-n) ★ W_\varphi(j + 1, n)|_{n = 2k,k\geq 0} \]

上述过程和子带编码类似，\(h_0(n) = h_\varphi(-n),h_1(n) = h_\psi(-n)\)，得到的\(W_\varphi(j,k),W_\psi(j,k)\)分别代表低通和高通分量，使用FWT约要求\(O(M\log_2 M)\)次操作，通常，我们选择\(f(x)\)的\(2^J\)个样本，并用\(P\)个滤波器组在尺度\(J - 1,J - 2,\cdots,J - P\)处生成一个\(P\)尺度FWT，首先计算最高尺度即\(J - 1\)的系数，最后计算最低尺度\(J - P\)的系数，假设\(f(x)\)的取样频率合适，那么取样样本时在该取样分辨率下的尺度系数的良好近似，可以作为起始高分辨率尺度系数的输入，类似的，我们可以得到从正变换的结果快速反变换结果，相当于二带宽子带编码的综合过程，由分析过程\(h_0(n) = h_\varphi(-n),h_1(n) = h_\psi(-n)\)，得到\(g_0(n) = h_0(-n) = h_\varphi(n),g_1(n) = h_1(-n) = h_\psi(n)\)，反变换\(FWT^{-1}\)的滤波器组执行下述计算：

\[W_\varphi(j + 1, k) = h_\varphi(k) ★ W_\varphi^{2\uparrow}(j,k) + h_\psi(k) ★ W_\psi^{2\uparrow}(j,k)|_{k \geq 0} \]

其中\(W^{2\uparrow}\)表示基2的上取样，上取样通过插入0使得长度变为原来的两倍来完成的，之后上取样的系数和\(h_\varphi(n),h_\psi(n)\)进行卷积完成滤波并相加产生较高尺度的近似，本质上创建了\(f(n)\)的较好近似

下面是两个示例过程：