图像处理学习笔记-04-频率域滤波04

图像处理领域的计算要求并不是微不足道的，需要一些基本方法简化傅里叶变换的计算，并加快计算速度

二维DFT的可分性

$$\begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x = 0}^{M - 1}e^{-j2\pi u x / M}\sum_{y = 0}^{N - 1}f(x,y)e^{-j2\pi vy / N} \\ &= \sum_{x = 0}^{M - 1}F(x,v)e^{-j2\pi ux/M} \\ F(x,v) &= \sum_{y = 0}^{N - 1}f(x,y)e^{-j2\pi vy/N} \end{aligned}$$

过程基本如下：首先对$f(x,y)$所有行计算一维DFT，然后沿着计算结果的每一列计算一维变换

用DFT算法计算IDFT

二维离散的反傅里叶变换

$$f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{\mu = 0}^{M - 1}\sum_{v = 0}^{N - 1}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu x / M + vy / N)}$$

取两边的复共轭：

$$MNf^*(x,y) = \sum_{u = 0}^{M - 1}\sum_{v = 0}^{N - 1}F^*(u,v)e^{-j2\pi(ux/M + vy/N)}$$

所以基本过程是计算$F^*(u,v)$的二维傅里叶正变换，得到$MNf^*(x,y)$，之后取其复共轭并将结果乘以$1/MN$，就得到了$F(u,v)$的傅里叶反变换$f(x,y)$

快速傅里叶变换FFT

快速傅里叶变换将乘法和加法的次数降低到$MN\log_2MN$，因为二维傅里叶变换可以通过一维变换的方法来执行，所以只需要关注一个变量的FFT：

$$F(u) = \sum_{x = 0}^{M - 1}f(x)W_M^{ux},u = 0,1,\cdots,M - 1$$

其中：

$$W_M = e^{-j2\pi/M}$$

且假设$M$有如下形式：

$$M = 2^n$$

$M$也可以表示为：

$$M = 2K$$

式子变为：

$$F(u) = \sum_{x = 0}^{2K - 1}f(x)W_{2K}^{ux} = \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x)W_{2K}^{u(2x)} + \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x + 1)W_{2K}^{u(2x + 1)}$$

可以证明$W_{2K}^{2ux} = W_K^{ux}$，所以上式：

$$F(u) = \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x)W_K^{ux} + \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x + 1)W_K^{ux}W_{2K}^u$$

定义：

$$\begin{aligned} F_{even}(u) &= \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x)W_K^{ux},u = 0,1,2,\cdots,K-1 \\ F_{odd}(u) &= \sum_{x = 0}^{K - 1}f(2x + 1)W_K^{ux},u = 0,1,\cdots,K - 1 \end{aligned}$$

得到下式：

$$F(u) = F_{even}(u) + F_{odd}(u)W_{2K}^{u}$$

有$W_{M}^{u + M} = W_M^u,W_{2M}^{u + M} = -W_{2M}^u$可得：

$$F(u + K) = F_{even}(u) - F_{odd}(u)W_{2K}^u$$

计算过程基本如下：首先完成$K$个点的计算$F_{even}(u),F_{odd}(u)$，另外的$K$个点可以通过$F(u + K)$直接得到，这个过程可以递归计算，假设$m(n),a(n)$分别代表实现算法所要求的复数乘法次数和加法次数，样本数目为$2^n$:

$$m(n) = 2m(n - 1) + 2^{n - 1} ,n \geq 1\\ a(n) = 2a(n - 1) + 2^n,n\geq 1 \\ m(0) = 0 \\ a(0) = 0$$

所以：

$$m(n) = \frac{1}{2}M\log_2M \\ a(n) = M\log_2M$$