图像处理学习笔记-03-灰度变换与空间滤波-模糊技术

混合空间增强法

将多种图像增强方法结合起来，完成困难的图像增强任务
混合空间增强法的例子

使用模糊技术进行灰度变换和空间滤波

目的：例如将人分为年轻人和非年轻人，使用一个确定的阈值例如20岁，那么20岁过1秒的人也属于非年轻人，我们需要更加弹性的在年轻和非年轻之间过渡

模糊集合论原理

$Z$ 是一个元素集， $z$ 表示 $Z$ 的一类元素，即 $Z = \{z\}$ ，该集合称为论域，模糊集合 $A$ 由隶属度函数 $\mu_A(z)$ 来表征：

A = {z, μ_{A} (z) | z \in Z}

$A = \{z,\mu_A(z)|z \in Z\}$

当隶属度函数值为1表示该元素是集合的完全成员，隶属度函数值位于0和1之间表示在集合中的隶属度等级为隶属度函数值，隶属度函数值为0表示该元素不属于该集合

空集： $Z$ 中的隶属度函数值为0，模糊集合为空集；
相等：当且仅当对于所有的 $z \in Z,\mu_A(z) = \mu_B(z)$ ，则称两个模糊集合 $A$ 和 $B$ 相等；
补集：由 $\overline{A}$ 或 $NOT(A)$ 表示模糊集合 $A$ 的补集，定义其隶属度函数为：

μ_{\bar{A}} (z) = 1 - μ_{A} (z)

$\mu_{\overline{A}}(z) = 1 - \mu_A(z)$

子集：当且仅当对于所有的 $z \in Z$ 有：

μ_{A} (z) \leq μ_{B} (z)

$\mu_A(z) \leq \mu_B(z)$

此时，模糊集合 $A$ 是模糊集合 $B$ 的子集；

并集：
对于所有的 $z \in Z$ ，具有隶属度函数：

μ_{U} (z) = m a x [μ_{A} (z), μ_{B} (z)]

$\mu_U(z) = max[\mu_A(z),\mu_B(z)]$

的并集 $U$ 表示为 $A \bigcup B$ 或 $A\ OR\ B$

对于所有的 $z \in Z$ ，具有隶属度函数：

μ_{I} (z) = m i n [μ_{A} (z), μ_{B} (z)]

$\mu_I(z) = min[\mu_A(z),\mu_B(z)]$

的交集 $I$ 表示为 $A \bigcap B$ 或 $A\ AND\ B$

模糊集合应用

假设生的水果是绿色的，半熟的水果是黄色的，成熟的水果是红色的，对应规则集：

$R_1$ ：IF颜色是绿色，THEN水果是生的
$R_2$ ：IF颜色是黄色，THEN水果是半熟的
$R_3$ ：IF颜色是红色，THEN水果是熟的

颜色采用波长这一值来表示，下图表示不同的波长对应不同颜色的隶属度，也就是输入的隶属度函数：
不同波长对不同颜色的隶属度
输出本身也是模糊的：
成熟度对不同成熟度的隶属度函数
以红色 $AND$ 成熟规则 $R_3$ 为例，这是一个二维的隶属度函数，表示为一个笛卡尔积 $(z,v)$ 到 $[0,1]$ 的映射：

μ_{3} (z, v) = m i n {μ_{r e d} (z), μ_{m a t} (v)}

$\mu_3(z,v) = min\{\mu_{red}(z),\mu_{mat}(v)\}$

上式是一个通用解，此时一个特定的输入 $z_0$ ，此时用 $Q_3(v)$ 表示， $c = \mu_{red}(z_0)$ ，唯一的变量为 $v$ ：

Q_{3} (v) = m i n {μ_{r e d} (z_{0}), μ_{m a t} (z_{0}, v)}

$Q_3(v) = min\{\mu_{red}(z_0),\mu_{mat}(z_0,v)\}$

给定输入z之后得到的隶属度函数
同理，我们可以得到另外两个规则和输入 $z_0$ 导致的模糊响应：

Q_{1} (v) = m i n {μ_{g r e e n} (z_{0}), μ_{1} (z_{0}, v)} Q_{2} (v) = m i n {μ_{y e l l o w} (z_{0}), μ_{2} (z_{0}, v)}

$Q_1(v) = min\{\mu_{green}(z_0),\mu_{1}(z_0,v)\} \\ Q_2(v) = min\{\mu_{yellow}(z_0),\mu_{2}(z_0,v)\}$

由于三个规则之间是通过 $OR$ 操作连接起来的：

Q = Q_{1} O R Q_{2} O R Q_{3}

$Q = Q_1 \ OR \ Q_2 \ OR \ Q_3$

所以我们可以得到结果如下： $r = \{1,2,3\},s = \{绿色,黄色,红色\}$ ，见下图

Q (v) = \underset{r}{m a x} {\underset{s}{m i n} {μ_{s} (z_{0}), μ_{r} (z_{0}, v)}}

$Q(v) = \mathop{max}\limits_{r} \left\{ \mathop{min}\limits_{s} \left\{ \mu_s(z_0),\mu_r(z_0,v)\right\}\right\}$

在z0条件下的隶属度函数
之后进行去模糊操作求出一个干脆的输出 $v_0$ ，计算集合的重心，假设 $Q(v)$ 有 $K$ 种取值：

v_{0} = \frac{\sum_{v = 1}^{K} v Q (v)}{\sum_{v = 1}^{K} Q (v)}

$v_0 = \frac{\sum_{v = 1}^KvQ(v)}{\sum_{v = 1}^KQ(v)}$

得到 $v_0 = 72.3$ ，指出给定的颜色 $z_0$ 成熟度约为 $72\%$

总结：

模糊输入：对于每个标量输入，例如颜色，使用隶属度函数找到相应的模糊值；
合并各个部分的输出，利用模糊集合操作交和并，例如前提为绿色或坚硬，合并时用 $OR$ ；
每一个规则，例如红色 $AND$ 成熟，前提和输出之间使用 $AND$ 连接；
将不同的规则聚合起来，使用 $OR$ 操作；
将最后输出的模糊集合去模糊操作，得到一个干脆的标量输出，例如计算重心；

使用模糊集合进行灰度变换

考虑如下的一个例子：

IF一个像素是暗的，THEN使它较暗；
IF一个像素是灰的，THEN使它仍是灰的；
IF一个像素是亮的，THEN使它较亮；
最终得到的 $Q$ 如下右图所示：

对于任何输入 $z_0$ ，输出 $v_0$ 由下式给出：

v_{0} = \frac{μ_{d a r k} (z_{0}) \times v_{d} + μ_{g r a y} (z_{0}) \times v_{g} + μ_{b r i g h t} (z_{0}) \times v_{b}}{μ_{d a r k} (z_{0}) + μ_{g r a y} (z_{0}) + μ_{b r i g h t} (z_{0})}

$v_0 = \frac{\mu_{dark}(z_0) \times v_d + \mu_{gray}(z_0) \times v_g + \mu_{bright}(z_0) \times v_b}{\mu_{dark}(z_0) + \mu_{gray}(z_0) + \mu_{bright}(z_0)}$