离散数学学习笔记-01-基础知识

集合与序列

集合的基本概念

集合set：大写字母表示S
集合的元素：小写字母表示a，$a\in S$
集合的特点：

• 能够明确的判断一个元素是或不是属于某集合
• 集合的元素没有顺序
• 集合的元素之间不一定存在什么关系
• 规定：对任意集合A都有$A\notin A$

特殊集合：
自然数：N，整数：Z，正整数：$Z^{+}$，非零整数集$Z^{\ast }$，有理数集$Q$，非零有理数集$Q^{\ast }$，实数$R$，非零实数集$R^{\ast }$，复数$C$

集合的表示：

• 外延表示法（列举法）$\{\cdots \}$
• 内涵表示法（描述法) $\{x|P(x)\}$

子集和超集：$A\subseteq B$
$A=B:A\subseteq BandB\subseteq A$
全集：$U$
空集：$\varnothing$

基数、势cardinality：集合中的元素数$|A|,\#A,card(A)$
幂集（power set）：A的所有子集所组成的集合，$\oint (A)=\{x|x\subset A\}$其中有空集和A本身

证明$X\subseteq Y$的基本方法是：对于任意的$x\in X$，有$x\in Y$
证明两个集合相等的方法是分别证明$X\subseteq YandY\subseteq X$

集合的运算

• 交集 $A\bigcap B,intersection$
• 并集 $A\bigcup B,union$
• B关于A的相对补(complement of B with respect to A)或A与B的差集(difference):$A-B=A\overline{B}$
• 补集$\overline{A},\sim A,complement$，A关于U的相对补
• 对称差$A⨁B=\{x|x\in Aorx\in Bandx\notin A\bigcap B=(A-B)\bigcup (B-A),symmetricdifference$

集合运算的性质

• 交换律：
  $$\begin{gathered} A\bigcup B=B\bigcup A \\ A\bigcap B=B\bigcap A \\ A⨁B=B⨁A \end{gathered}$$
• 结合律：
  $$\begin{gathered} (A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C) \\ (A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C) \\ (A⨁B)⨁C=A⨁(B⨁C) \end{gathered}$$
• 分配率：
  $$\begin{gathered} A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap (A\bigcup C) \\ A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C) \end{gathered}$$
• 吸收率：
  $$\begin{gathered} A\bigcup (A\bigcap B)=A \\ A\bigcap (A\bigcup B)=A \end{gathered}$$
• 德摩根律：
  绝对形式：
  $$\begin{gathered} \overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap \overline{B} \\ \overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup \overline{B} \end{gathered}$$
  相对形式：
  $$\begin{gathered} A-(B\bigcup C)=(A-B)\bigcap (A-C) \\ A-(B\bigcap C)=(A-B)\bigcup (A-C) \end{gathered}$$
• 幂等律：
  $$\begin{gathered} A\bigcap A=A \\ A\bigcup A=A \end{gathered}$$
• 零律：
  $$\begin{gathered} A\bigcup U=U \\ A\bigcap \varnothing =\varnothing \end{gathered}$$
• 同一律：
  $$\begin{gathered} A\bigcap U=A \\ A\bigcup \varnothing =A \end{gathered}$$
• 排中律：
  $$A\bigcup \overline{A}=U$$
• 矛盾律：
  $$A\bigcap \overline{A}=\varnothing$$

序列的基本概念

• sequence：排成一列的对象，有顺序，里面的对象为项item；
• 对于给定的集合A，$A^{\ast }$为所有由A种元素生成的有限长度序列全体，$A^{\ast }$中的元素称为A上的词word或串string；
• 假设$A=\{a,b,c,\cdots ,z\}$，则$A^{\ast }$中包括的为若干单词，$A^{\ast }$中的空序列称作空串empty string，记作$\lambda ,\epsilon$；
• 假设A是集合，$w_1=s_1{s}_2\cdots s_n,w_2=t_1{t}_2\cdots t_n$都是$A^{\ast }$中的元素，则$w_1,w_2$的连接catenation为$s_1{s}_2\cdots s_n{t}_1{t}_2\cdots t_n$记作$w_1\circ w_2$

布尔矩阵

布尔矩阵boolean matrix，位矩阵bit matrix

• $A=[a_{ij}]$是一个$m\times n$的布尔矩阵，则定义其补complement为$\overline{A}=[\overline{a_{ij}}]=[1-a_{ij}]$
• $A=[a_{ij}]$和$B=[b_{ij}]$都是$m\times n$的布尔矩阵
  $$\begin{gathered} A\bigcap B \\ A\bigcup B \end{gathered}$$
• $A=[a_{ij}]$是$m\times n$矩阵，$B=[b_{ij}]$是$n\times r$矩阵，布尔积boolean product，$A\odot B=C=[c_{ij}]$
  $$c_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& 若存在k，1\le k\le n使得a_{ik}=1且b_{kj}=1\\ 0& otherwise\end{array}$$
• 定理：
  $$\begin{gathered} A\bigcup B=C=[c_{ij}]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}-a_{ij}{b}_{ij} \\ A\bigcap B=D=[d_{ij}]d_{ij}=a_{ij}{b}_{ij} \end{gathered}$$
• 交换律：
  $$\begin{gathered} A\bigcap B=B\bigcap A \\ A\bigcup B=B\bigcup A \end{gathered}$$
• 结合律：
  $$\begin{gathered} (A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C) \\ (A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C) \\ (A\odot B)\odot C=A\odot (B\odot C) \end{gathered}$$
• 分配率：
  $$\begin{gathered} A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup (A\bigcap C) \\ A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap (A\bigcup C) \\ (A\bigcup B{)}^T=A^T\bigcup B^T \\ (A\bigcap B{)}^T=A^T\bigcap B^T \\ (A\odot B{)}^T=B^T\odot A^T \end{gathered}$$