离散数学学习笔记-02-命题逻辑

命题proposition

非真既假的普通陈述句，真值true/false唯一确定，（本命题是假的）和（本命题是真的）不是命题

命题变元或命题变项proposition variables

小写英文字母表示

• 原子命题：atom proposition/简单命题 simple proposition
• 复合命题：compound proposition

命题联结词proposition connective或命题运算符proposition operator

• 否定词：$\sim p，非p$
• 合取词：$conjunction,p\bigwedge q,p且q$
• 析取词：$disjunction,p\bigvee q,p或q$
• 异或词：$exclusiveor,p⨁q,p和q真值相同时为假$
• 蕴涵词：$implication，p\Rightarrow q，p真q假时p\Rightarrow q为假$
  $p$：前提(premise)，$q$：结论(conclusion)
  $p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件
  对于命题$p\Rightarrow q$，$q\Rightarrow p$为其逆命题，$-p\Rightarrow -q$为其否命题，$-q\Rightarrow -p$为其逆否命题
• 等价词：$equivalence，p\iff q，p和q真值相同时为真，双条件，p是q的充分必要条件，p和q等价$

命题公式及其分类

命题公式(well formed formula, wff)

合式公式，简称公式

• 单个命题变项变项$p,q,r,\cdots$是命题公式
• 如果$A$是命题公式，那么$\sim A$也是命题公式
• 如果$A$和$B$是命题公式，那么由逻辑联结词连接的符号串也是命题公式
• 有限次应用上面三条构成的符号串才是命题公式，只有用命题公式表示的符号串才是命题，且该公式的每一命题变项真值确定
• $\{\sim \}>\{\bigwedge ,\bigvee \}>\{\Rightarrow ,\iff \}$

n元命题公式

n元命题公式：含有n个命题变项的命题公式$(p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_n)$

• 对变项组$(p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_n)$指定的一组确定真值称为该公式的一个真值指派或赋值，若使之真值为真，则称这组值为成真指派或成真赋值，若使之真值为假，则称这组值为成假指派或成假赋值
• 真值表truth table：$2^n$行对应$2^n$个真值指派
• 若所有$2^n$个赋值都是成真赋值，则称A为永真式或重言式tautology
• 若所有$2^n$个赋值都是成假赋值，则称A为永假式或矛盾式contradiction
• 若至少存在一个成真指派，则称A为可满足式，satisfiable formula
• 若至少存在一个成真指派和一个成假指派，则称A为非重言的可满足式
• 两个重言式或两个矛盾式的析取或合取任然是重言式、矛盾式
• 结果可能为真可能为假为不定式contingency
• 如果一个命题公式是重言式，则一定是不定式

命题逻辑的等值演算

等值equivalent，逻辑等值logically equivalent
$A\iff B$是一个重言式，记作$A\equiv B$，称$A\equiv B$为等值式，表示对于任意的真值指派，A、B的真值均相同
证明两公式等值：真值表法、等值演算法
证明两公式不等值：找出一个真值指派使一个真值为真一个为假

基本等值式

假设$p,q,r$为任意命题

• 双重否定率：$p\equiv \sim (\sim p)$
• 幂等律：$p\bigvee p\equiv p,p\bigwedge p\equiv p$
• 交换律：$p\bigvee q\equiv q\bigvee p,p\bigwedge q\equiv q\bigwedge p$
• 结合律：$(p\bigvee q)\bigvee r\equiv p\bigvee (q\bigvee r),(p\bigwedge q)\bigwedge r\equiv p\bigwedge (q\bigwedge r)$
• 分配率：$p\bigvee (q\bigwedge r)\equiv (p\bigvee q)\bigwedge (p\bigvee r),p\bigwedge (q\bigvee r)\equiv (p\bigwedge q)\bigvee (p\bigwedge r)$
• 德摩根律：$\sim (p\bigvee q)\equiv (\sim p)\bigwedge (\sim q),\sim (p\bigwedge q)\equiv (\sim p)\bigvee (\sim q)$
• 吸收律：$p\bigvee (p\bigwedge q)\equiv p,p\bigwedge (p\bigvee q)\equiv p$
• 零律：$p\bigvee T\equiv T,p\bigwedge F\equiv F$
• 同一律：$p\bigvee F\equiv p,p\bigwedge T\equiv p$
• 排中律：$p\bigvee \sim p\equiv T$
• 矛盾律：$p\bigwedge \sim p\equiv F$
• 蕴含等值式：$p\Rightarrow q\equiv \sim p\bigvee q$
• 等价等值式：$p\iff q\equiv (p\Rightarrow q)\bigwedge (q\Rightarrow p)$
• 假言易位：$p\Rightarrow q\equiv (\sim q)\Rightarrow (\sim p)$
• 等价否定等值式：$p\iff q\equiv \sim p\iff \sim q$
• 归谬论：$(p\Rightarrow q)\bigwedge (p\Rightarrow \sim q)\equiv \sim p$

代入规则：假设A是一个重言式，那么A里的命题变项每一项替换为别的，不论真值如何，替换以后任然为重言式
置换规则：若$A\equiv B$，则用命题公式B替换命题公式$\Phi (A)$中的A后形成的$\Phi (B)$(不一定替换每一处），$\Phi (A)\equiv \Phi (B)$