离散数学学习笔记-03-谓词

谓词和量词

个体词individual

相当于名词，个体常项$a,b,c$，个体变项$x,y,z$，个体变项的取值范围$D$称为个体域或论域，全总个体域是指宇宙间一切事物组成的个体域

谓词

• 一元谓词：表示个体词的性质，属性$P(x),Q(x)$
• 多元谓词：表示个体词之间的关系$P(x,y),R(x,y,z)$
• 命题是确定谓词含义的零元谓词

量词

• 全称量词：universal quantification $(\forall x)P(x)$
• 存在量词：existential quantification $(\exists x)P(x)$

谓词公式及其分类

谓词公式(合式)

• 若A是谓词公式，且A种无$\forall x,\exists x$出现则$(\forall x)A(x),(\exists x)A(x)$也是
• 若A是，$\sim A$也是
• 若A，B是，则由逻辑联结词联结的也是

谓词公式的分类

• 普遍有效的公式、逻辑有效式：在任何解释下真值为真
• 不可满足式：在任何解释下真值均为假
• 可满足式：至少存在一个解释使之为真
• 定理：丘奇图灵，谓词逻辑是不可判定的，即对任一谓词公式而言，没有一个可行的办法判定它是否是普遍有效的
• 代换实例：设命题公式$A$含有命题变项$P_1,P_2,\cdots ,P_n$，用n个谓词公式$A_1,A_2,\cdots ,A_n$分别处处代换$P_1,P_2,\cdots ,P_n$所得公式是原公式的代换实例
• 定理：重言式、矛盾式的代换实例仍然为重言式、矛盾式
• $(\forall x)A(x),(\exists x)A(x)$中$\forall ,\exists$之后的x称为量词的指导变项或作用变项，$A(x)$称为相应量词的辖域或作用域，在$A(x)$中的x的出现称为约束出现，x称为约束变项，其他变项称为自由变项，若无自由变项即为命题

自然语言的形式化

• 将问题分解为一些原子命题和逻辑联结符
• 分解出各个原子命题的个体词、谓词、量词
• 按照合式公式的原则翻译出自然语句

例：令谓词$P(x)$表示x是整数，$Q(x)$表示x是奇数，$R(x)$表示x是偶数，$S(x)$表示x是素数，$E(x,y)$表示$x=y$，$G(x,y)$表示$x>y$

• 所有的素数都是整数：$(\forall x)(S(x)\Rightarrow P(x))$

谓词逻辑的等值演算

等值：谓词公式$A,B$等值，$A\equiv B$，$A,B$在任何解释下真值均相同

消去量词等值式

设论域$D=\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\}$
$$\begin{gathered} (\forall x)A(x)\equiv A(a_1)\bigwedge A(a_2)\bigwedge \cdots \bigwedge A(a_m) \\ (\exists x)A(x)\equiv A(a_1)\bigvee A(a_2)\bigvee \cdots \bigvee A(a_m) \end{gathered}$$

量词否定等值式、德摩根律

$$\begin{gathered} \sim (\forall x)A(x)\equiv (\exists x)\sim A(x) \\ \sim (\exists x)A(x)\equiv (\forall x)\sim A(x) \end{gathered}$$

量词辖域收缩与扩张等值式

$$\begin{gathered} (\forall x)(A(x)\bigvee B)\equiv (\forall x)A(x)\bigvee B \\ (\forall x)(A(x)\bigwedge B)\equiv (\forall x)A(x)\bigwedge B \\ (\exists x)(A(x)\bigvee B)\equiv (\exists x)A(x)\bigvee B \\ (\exists x)(A(x)\bigwedge B)\equiv (\exists x)A(x)\bigwedge B \end{gathered}$$

量词分配等值式

$$\begin{gathered} (\forall x)(A(x)\bigwedge B(x))\equiv (\forall x)A(x)\bigwedge (\forall x)B(x) \\ (\exists x)(A(x)\bigvee B(x))\equiv (\exists x)A(x)\bigvee (\forall x)B(x) \\ (\forall x)(\forall y)A(x,y)\equiv (\forall y)(\forall x)A(x,y) \\ (\exists x)(\exists y)A(x,y)\equiv (\exists y)(\exists x)A(x,y) \end{gathered}$$

对偶式

dual，在仅含联结词$\sim ,\bigwedge ,\bigvee$的谓词公式$A$中，将$(\bigwedge ,\bigvee$)、($\forall ,\exists$)、($F,T$)互换，若$A\equiv B$则$A^{\ast }\equiv B^{\ast }$

置换规则

设$\Phi (A)$是含谓词公式$A$的公式，$\Phi (B)$是用谓词公式$B$取代$\Phi (A)$中的$A$，不一定是每一处之后得到的谓词公式，若$A\equiv B$则$\Phi (A)\equiv \Phi (B)$

代替规则

将谓词公式中某个自由出现的个体变项的所有自由出现改成改成$A$中未曾出现的符号，所得$A^{\prime }\equiv A$

换名规则

将谓词公式A中某量词的指导变项及其辖域内的所有约束出现改成A中未出现的符号所得$A^{\prime }\equiv A$