2018QBXT刷题游记（3）

【2018QBXT刷题游记】

Day1 TEST1

T3 difer

【问题描述】
在数学中， 对光滑函数求微分是一种常见的操作。 在实际应用中， 一些函数没有解析形式， 通常会从函数上取若干个点，用这些点来近似地表示这个函数。
现在有一个函数\(f(x)\)，我们在函数上取 \(n\)个值 \(f(1),f(2),…,f(n)\)。对函数 \(f(x)\)取微分得到函数 \(f’(x)\)。我们近似地认为 \(f’(i)=f(i)-f(i-1)\)。
同理，对 \(f’(x)\)求微分可以得到 \(f’’(x)\)，我们近似地认为 \(f’’(i)=f’(i)-f’(i-1)\)。（注意这里的 f’(i)和 f’(i-1)本身就是我们求的近似值）。
函数 \(f’(x)\)被称为一阶微分， \(f’’(x)\)被称为二阶微分。如果对函数 \(f(x)\)连续做 \(m\)次微分操作，得到的函数被称为 \(m\) 阶微分。 特殊地， \(f(x)\)可以被认为是自身的0阶微分。
用 \(f[m](x)\)表示 \(f(x)\)的 \(m\) 阶微分，我们认为对任意自然数 \(m\)，有 \(f[m](0)=0\)。
在计算近似值时，直接使用这条性质。

输入的是 \(f(1),f(2),…,f(n)\)
令 \(f[0](x)=f(x)， x=1,2,…,n\)
令 \(f[i](0)=0， i=0,1,…m\)
令 \(f[i](x)=f[i-1](x)-f[i-1](x-1)， x=1,2,…,n， i=1,2,…,m\)
输出的是 \(f[m](x) ， x=1,2,…,n\)
【输入格式】
第一行两个数 \(n, m\)
第二行 n 个数 \(f(1),f(2),…,f(n)\)
【输出格式】
输出 \(n\) 行， 第 \(x\) 行是 \(f[m](x)\)。
结果对 \(100007\) 取模
【样例输入】
3 2
6 7 8
【样例输出】
6
100002
0
【数据规模和约定】
对于 30%的数据， \(m<=1000\)
对于 60%的数据，\(m<=10^6\)
对于 100%的数据， \(n<=1000， m<=10^9， 0<=f(i)<100007\)

【分析】

可以发现：

\[f[m](i)=\sum_{j=0}^i (-1)^j·C(m,j)·f[0](i-j) \]

需要注意的是，模数不是质数，所以不能用卢卡斯定理。

一开始以为是扩展卢卡斯，后来发现这题数据比较小，没必要这么麻烦。对分子和分母分解质因数即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 100007
#define MAXN 1007
#define ll long long
int n,m,fenzi[MAXN][MAXN],fenmu[MAXN][MAXN],shengyu[MAXN];
int f[MAXN];//初始 
int ans[MAXN]; 
int add(int x,int y){
	x+=y;
	if(x>=MOD)x-=MOD;
	return x;
}
int jian(int x,int y){
	x-=y;
	if(x<0)x+=MOD;
	return x;
}
int mul(int x,int y){
	ll ret=x;
	ret*=y;
	ret%=MOD;x=ret;
	return x;
}

int main(){
	freopen("difer.in","r",stdin);
	freopen("difer.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){//对分子质因数分解 
		fenzi[i][0]=m+1-i;
		for(int j=2;j<=n;j++){
			while(fenzi[i][0]%j==0){//保证分解出的一定是质数 
				fenzi[i][0]/=j;
				fenzi[i][j]++;
			}
		}
		fenzi[i][0]%=MOD;
	}
	for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){//对分母质因数分解 
		fenmu[i][0]=i;
		for(int j=2;j<=n;j++){
			while(fenmu[i][0]%j==0){
				fenmu[i][0]/=j;
				fenmu[i][j]++;
			}
		}
	}ans[0]=1;
	for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++){
		ans[i]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)ans[i]=mul(ans[i],fenzi[j][0]);
		for(int j=2;j<=n;j++){
			shengyu[j]+=(fenzi[i][j]-fenmu[i][j]);
		}
		for(int j=2;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=shengyu[j];k++)ans[i]=mul(ans[i],j);
		}
		if(i&1)ans[i]=jian(0,ans[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int ret=0;
		for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++)ret=add(ret,mul(f[i-j],ans[j]));
		printf("%d\n",ret);
	}
	return 0;
}