[转]数论的基本知识

 

接下来会研究RSA的算法，其中就用到很多数论的基本知识，包括各种公式表达，这里就把有关数论的一些基本知识温习一下，估计是高中还是初中的一些理论，现在看来还是很有帮助的。

本文将简单地介绍有关整数集合Z={…,-2,-1,0,1,2,…}和自然数集合N={0,1,2,…}的最基本的数论概念。

可除性与约数

一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念，记号d|a（读作“d 除a”）意味着对某个整数k，有 a = kd。0可被每个整数整除。如果a>0且d|a，则|d|≤|a|。如果d|a，则我们也可以说a是d的倍数。如果a不能被d整除，则写作dFa。

如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当(-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。例如，24的约数有1，2，3，4，6，8，12和24。

每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。例如， 20的因子有2，4，5和10。

素数与合数

对于某个整数a>1，如果它仅有平凡约数1和a，则我们称a为素数(或质数)。素数具有许多特殊性质，在数论中举足轻重。按顺序，下列为一个小素数序列:

2，3，5，6，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…

不是素数的整数a>1称为合数。例如，因为有3|39，所以39是合数。整数1被称为基数，它既不是质数也不是合数。类似地，整数 0和所有负整数既不是素数也不是合数。

定理 1

素数有无穷个。

证明：

假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p₁,p₂,...,p_n，则 x = (p₁·p₂·...·p_n)+1 显然是不能被p₁,p₂,...,p_n中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n个素数矛盾，所以素数是无限多的。

这个证明的最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高。

除法定理，余数和同模

已知一个整数n，所有整数都可以分划为是n的倍数的整数与不是n的倍数的整数。对于不是n的倍数的那些整数，我们又可以根据它们除以n所得的余数来进行分类，数论的大部分理论都是基于上述分划的。下列定理是进行这种分划的基础。

定理2 (除法定理)

对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0 < r ≤ n，并且a = qn + r 。

这个定理是整数的基本定理之一，这里就不给出具体证明了。

值q=ëa/nû 称为除法的商（ë xû 表示地板符号floor，即小于等于x的最大整数）。值 r = a mod n 称为除法的余数。我们有n|a 当且仅当 a mod n = O，并且有下式成立：

当我们定义了一个整数除以另一个整数的余数的概念后，就可以很方便地给出表示同余的特殊记法。如果 (a mod n)=(b mod n)，就写作 a ≡ b (mod n)，并说a和b对模n是相等的。换句话说，当a和b除以n有着相同的余数时，有a ≡ b (mod n)。等价地有，a ≡ b (mod n)当且仅当n|(b - a)。如果a和b对模n不相等，则写作a T b (mod n)。例如， 61≡ 6 (mod 11)，同样，-13≡ 22≡2 (mod 5)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，24与30的公约数为1,2,3和6。注意，1是任意两个整数的公约数。

两个不同时为0的整数a与b的最大公约数表示成gcd(a,b)。例如，gcd(24,30)=6，gcd(5,7)=1，gcd(0,9)=9。如果a与b不同时为0，则 gcd(a,b)是一个在1与min(|a|,|b|)之间的整数。

互质数

如果两个整数a与b仅有公因数1，即如果gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。例如，8和15是互质数，因为8的约数为1，2，4，8，而15的约数为1，3，5，15。下列定理说明如果两个整数中每一个数都与一个整数p互为质数，则它们的积与p与互为质数。

 From:http://algorithm.myrice.com/algorithm/commonalg/numberic/basic_knowledge.htm