LeetCode312 戳气球

题目

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167
示例 2：
输入：nums = [1,5]
输出：10

提示：
n == nums.length
1 <= n <= 500
0 <= nums[i] <= 100

方法

一般取最值需要遍历所有情况比较后才能得出最值，遍历一般分为自上而下的遍历（dfs）和自下而上的遍历（动态规划），我们可以将戳气球的过程反向思考，变为一排灯先亮哪个，即最后一个戳破的气球为第一个亮起的灯，我们把边界条件添加进数组中，因此此题目可看作求（0,n+1）范围内的亮灯问题，当选取下标为k的灯为（i,j）范围第一个亮的灯的话，他的硬币数为val(i)val(k)val(j)，下一步考虑（i,k）区间和（k,j）区间的，因此我们可得出状态方程：
dp[i,j] = max(val(i)val(k)val(j)) + dp[i,k]+dp[k,j]

深度优先遍历

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] val = new int[length+2];
        val[0] = val[length+1] = 1;
        for(int i=0;i<length;i++){
            val[i+1] = nums[i];
        }
        return dfs(val,0,length+1);
    }
    private int dfs(int[] val,int i,int j){
        if(i>=j-1){
            return 0;
        }
        int res = 0;
        for(int k = i+1;k<j;k++){
            int sum = val[i]*val[k]*val[j]+ dfs(val,i,k)+dfs(val,k,j);
            res = Math.max(res,sum);
        }
        return res;
    }
}

深度优先遍历+记忆化优化

深度优先遍历计算过程中一些区间重复计算，因此可以用数组保存区间最大值

• 时间复杂度：O（n^3）,n为数组长度
• 空间复杂度：O（n^2）

（区间）动态规划法

第一步：把边界条件加入数组，重新构造一个带边界的数组val
第二步：按动态规划状态方程计算，由于dp[i,j]需要dp[i,k],dp[k,j]，因此i需要从大到小，j则从i+2到最后，所以i从n-1到0

• 时间复杂度：O（n^3）,n为数组长度
• 空间复杂度：O（n^2）

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] val = new int[length+2];
        int[][] dp = new int[length+2][length+2];
        val[0] =  val[length+1] = 1;
        for(int i=0;i<length;i++){
            val[i+1] = nums[i];
        }
        for(int i=length-1;i>=0;i--){
            for(int j=i+2;j<=length+1;j++){
                for(int k=i+1;k<j;k++){
                    int sum = val[i]*val[k]*val[j]+dp[i][k]+dp[k][j];
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],sum);
                }
            }
        }
        return dp[0][length+1];
    }
}