LeetCode62 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start”）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

 示例 1： 
输入：m = 3, n = 7
输出：28 

 示例 2： 
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

 示例 3： 
输入：m = 7, n = 3
输出：28

 示例 4： 
输入：m = 3, n = 3
输出：6 

 提示： 
 1 <= m, n <= 100 
 题目数据保证答案小于等于 2 * 109 

方法

动态规划

节点[i,j]的情况即为左节点和上节点的情况相加，即动态规划的方程为dp[i,j] = dp[i-1,j]+dp[i,j-1]

• 时间复杂度：O(m*n)
• 空间复杂度：O(m*n)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[n][m];
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(i==0||j==0){
                    dp[i][j] = 1;
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[n-1][m-1];
    }
}

数学公式法

向右走有n-1步，向下走有m-1步，因此题意为在m+n-2的情况下选m-1次向下的情况个数，公式即为：

• 时间复杂度：O(m)
• 空间复杂度：O(1)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
}