【ACM算法竞赛日常训练】DAY1题解与分析
DAY1 共四题：
- 月月查华华的手机：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/23053
- Rinne Loves Edges：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/22598
- 逆序对：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14731
- Xorto：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14247
视频教程：https://www.bilibili.com/video/BV1JX4y1d7LC
🎈 作者：Eriktse
🎈 简介：19岁，211计算机在读，现役ACM银牌选手🏆力争以通俗易懂的方式讲解算法！❤️欢迎关注我，一起交流C++/Python算法。（优质好文持续更新中……）🚀
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月月查华华的手机
- tag:动态规划
注意：子序列是可以分隔开的，请区别子串和子序列。
我们定义dp[i][j]表示在母串中第i位右边最近的字符j的位置，如果不存在则为-1，初始值为-1。
倒序处理出dp数组后，对每一个子串进行判断。
判断的思路是：当前在母串的位置j，当前子串字符为k，那么我找dp[j][k]看看是否存在，如果有就让j跳过去，如果没有就说明母串中不存在这个子序列。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 9;
char s[maxn];
int dp[maxn][30], now[30];//dp[i][j]表示母串中第i位右边最近的字符j的位置
signed main()
{
memset(dp, -1, sizeof dp);
memset(now, -1, sizeof now);
scanf("%s", s + 1);
int n = strlen(s + 1);
for(int i = n;i >= 0; -- i)
{
for(int j = 0;j < 26; ++ j)dp[i][j] = now[j];
if(i > 0)now[s[i] - 'a'] = i;
}
int T;scanf("%lld", &T);
while(T --)
{
scanf("%s", s + 1);
int m = strlen(s + 1);
bool ans = true;
for(int i = 1, j = 0;i <= m; ++ i)
{
int k = s[i] - 'a';
if(dp[j][k] == -1)
{
ans = false;
break;
}
else j = dp[j][k];
}
printf("%s\n", ans ? "Yes" : "No");
}
return 0;
}
Rinne Loves Edges
- tag:简单图论，树
首先以s作为根构造一棵树，fa[x]表示x的父亲。
不难发现，假如我要使得点x为根的子树的所有叶子到不了s，那么可以通过删除x - fa[x]这条边或删除x与所有儿子节点的边，那么对于x的儿子亦是如此。
所以我们就有了dp方程, w[x]为x与fa[x]的边权，dp[x]表示删除点x的最小代价（代码中的dp用dfs表示）：
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9, inf = 1e18;
int w[maxn];//w[i]表示点i的父亲这条边的边权
vector<pair<int, int> > g[maxn];
int n, m, s;
int dfs(int x, int pre)//pre是x的父节点，返回删除节点x和父亲这条边的最小代价
{
//有可能是根
if(g[x].size() == 1 and x != s)return w[x];
int res = 0;//res表示子节点的代价之和
for(auto &i : g[x])
{
int y = i.first, dw = i.second;
//x -> y, cost = dw
if(y == pre)continue;//如果下一个点是当前的父节点，就不进入
w[y] = dw;
res += dfs(y, x);
}
return min(w[x], res);
}
signed main()
{
scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &s);
for(int i = 1;i <= m; ++ i)
{
int x, y, w;scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &w);
g[x].push_back({y, w});
g[y].push_back({x, w});
}
w[s] = inf;
printf("%lld\n", dfs(s, 0));
return 0;
}
逆序对
- tag:组合数学
我们知道只有(1, 0)这样的二元组会对答案产生贡献，那么我们枚举第二位，然后找左边有多少个1即可。
对于第i位，左边有\(2^{i - 1}\)种情况，每种情况平均都是\(\frac{i-1}{2}\)个1，然后右边有\(2^{n - i}\)种情况，会使得区间[0, i]的情况重复多次。
所以第i位的贡献$a_i = 2^{n-1} \times \frac{i-1}{2} = 2 ^ {n-2} \times (i - 1) $。
答案是：
#include "bits/stdc++.h"
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
int ksm(int a, int b) {
int res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = res * a % mod;
b >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return res;
}
int mo(int x){return (x % mod + mod) % mod;}
signed main() {
int n; std::cin >> n;
if (n == 1) {
std::cout << 0 << "\n";
} else if (n == 2) {
std::cout << 1 << "\n";
} else {
int m = n % mod;
std::cout << mo(m * m % mod - m) * ksm(2, n - 3) % mod;
}
return 0;
}
Xorto
- tag: map, vector, 异或xor
将所有的异或和结果存到一个map里，每一个异或和结果对应一个vector，里面存下了所有的异或和相同的区间，且按照左端点为第一关键字，右端点为第二关键字的顺序排列好。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn];
unordered_map<int, vector<pair<int, int>> > mp;
signed main()
{
int n;scanf("%lld", &n);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)scanf("%lld", a + i);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
int xorsum = 0;
for(int j = i;j <= n; ++ j)
{
xorsum ^= a[j];
if(!mp.count(a[j]))mp[a[j]] = vector<pair<int, int> >();
mp[xorsum].push_back({i, j});
}
}
int ans = 0;
for(auto &it : mp)
{
vector<pair<int, int> >& v = it.second;
//v中的所有区间，异或和都相同
for(int i = 0;i < v.size(); ++ i)
{
int j = upper_bound(v.begin(), v.end(), v[i].second,
[](const int &x, const pair<int, int>& p)
{
return x < p.first;
}) - v.begin();
ans += v.size() - j;
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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