[思维提升|干货All in]6种算法解决LeetCode困难题：滑动窗口最大值
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最近在leetcode遇到一道非常经典的题目：239. 滑动窗口最大值 - 力扣（LeetCode）
以前只会看题解用单调队列做，最近研究一下发现是一道很好的题，可以帮助我们提升“维护区间最值”的算法思维。
先介绍一下我解决这题所用的算法及其复杂度：
- 单调队列 O(n)
- st表 O(nlogn)
- 树状数组 O(n(logn)^2)
- 多重集合法 O(nlogn)
- 莫队O (n sqrt{n})
- 优先队列 O(nlogn)
首先确定一点，单调队列是解决这道题最好的办法，但是其他的方法的适用范围更广。
1、单调队列
首先可以参考几篇优秀的文章：
算法学习笔记(66): 单调队列 - 知乎 (zhihu.com)
单调队列 - OI Wiki (oi-wiki.org)
我这里提几点值得注意的地方：
1.单调队列中存放的是下标，而不是元素值
2.单调队列是一个双端队列，尾插前先查队头后查队尾
3.单调队列维护的是元素值的单调性
有了这几点注意，代码就很好写了：
class Solution {
public:
static const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn];
deque<int> dq;
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
vector<int> res;
int n = nums.size();
for(int i = 1;i <= n; ++ i)a[i] = nums[i - 1];
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
int x = a[i];
while(!dq.empty() and dq.front() < i - k + 1)dq.pop_front();
while(!dq.empty() and x >= a[dq.back()])dq.pop_back();
dq.push_back(i);
if(i >= k)res.push_back(a[dq.front()]);
}
return res;
}
};
我做题习惯把输入数组存一个array，大家请勿介意。
2.st表
st表是一种基于DP（动态规划）思想的算法，也算是一种数据结构吧。
st表可以静态维护区间的最值，需要用的时间来预处理，后可以O(1)查询。
我们定义dp[i][j]表示
表示区间的最值，在这道题里我们认为是最大值（维护最小值同理）。看一下能不能开下，大概是maxn * 20的大小，可以开下。
通过定义不难发现，dp[i][0] = a[i]，因为此时区间长度为1，那么最值就是元素a[i]本身。当j增大时，我们有转移方程（具体的原因可简单自行推导，以后的文章中也会有讲解）：
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 2^(j-1)][j - 1])
查询十分方便，方法是从两边往中间尽可能多地覆盖。假设要查询的区间是[l,r]
，那么我们可以得到区间长度r - l + 1，现在求一个比长度小且最大的2的幂，然后把左右两块取大即可。
直接看代码：
class Solution {
public:
static const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn], st[maxn][30];//st[i][j]表示[i, i + 2^j - 1]的最大值
int queMax(int l, int r)
{
int k = log(r - l + 1) / log(2);
return max(st[l][k], st[r - (1<<k) + 1][k]);
}
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
memset(st, 0xcf, sizeof st);
vector<int> res;
int n = nums.size();
for(int i = 1;i <= n; ++ i)a[i] = nums[i - 1];
for(int i = 1;i <= n; ++ i)st[i][0] = a[i];
for(int k = 1;k <= 20; ++ k)
{
for(int i = 1;i <= n and i + (1 << (k - 1)) <= n; ++ i)
{
st[i][k] = max(st[i][k - 1], st[i + (1 << (k - 1))][k - 1]);
}
}
for(int i = 1;i + k - 1 <= n; ++ i)res.push_back(queMax(i, i + k - 1));
return res;
}
};
3、树状数组
看见树状数组可能有小朋友会感到疑惑了哦，树状数组不是维护区间和的吗？怎么还来凑“区间最值”的热闹了。
其实树状数组不仅可以维护区间和，还可以“动态维护区间最值”，但是维护的方法和区间和略有不同。这一次主要看一下代码吧，具体的原理之后再讲。
树状数组节点t[k]维护的是区间[k - lowbit(k) + 1, k]。
树状数组主要突出的优点就是可以动态维护，但是注意在维护区间最值的时候仅可单点修改，不支持区间修改。
class Solution {
public:
static const int maxn = 1e5 + 9;
//树状数组
int a[maxn], t[maxn], n;//t[i] 表示 a[i - lowbit(i) + 1] ~ a[i]的最大值
int lowbit(int x){return x & -x;}
void update(int k, int x)// modify a[k] to x
{
a[k] = x;
while(k <= n)
{
t[k] = x;
for(int i = 1;i < lowbit(k); i <<= 1)t[k] = max(t[k], t[k - i]);
k += lowbit(k);
}
}
int queMax(int l, int r)
{
int res = a[r];//单点查询
while(l <= r)
{
for(;r - lowbit(r) >= l; r -= lowbit(r))res = max(res, t[r]);
res = max(res, a[r --]);
}
return res;
}
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
n = nums.size();
for(int i = 1;i <= n; ++ i)a[i] = nums[i - 1];
vector<int> res;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
update(i, a[i]);
if(i >= k)res.push_back(queMax(i - k + 1, i));
}
return res;
}
};
4、多重集合法
这种方法就十分简单粗暴了，就是维护一个不断移动的multiset，简直是暴力之王。
class Solution {
public:
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
multiset<int> st;
vector<int> res;
for(int i = 0;i < k; ++ i)st.insert(nums[i]);
res.push_back(*st.rbegin());
for(int i = k;i < nums.size(); ++ i)
{
st.erase(st.find(nums[i - k]));
st.insert(nums[i]);
res.push_back(*st.rbegin());
}
return res;
}
};
5、莫队
莫队需要基于multiset，在这道题里的优势并不明显，因为这题的询问都是有顺序的，但是可以写个莫队练个手。
莫队在处理随机区间查询问题的时候有独特的优势，因为足够暴力，所以维护的东西可以很多很杂，比如区间和，区间最值，区间元素种类数等。
以后我会详细讲莫队的，欢迎大家访问我的个人博客：https://www.eriktse.com
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class Solution {
public:
static const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn], pos[maxn], ans[maxn], n;
struct Q
{
int l, r, id;//询问离线
}q[maxn];//outline algorihm
multiset<int> st;
void Add(int k)//把a[k]加入到区间内
{
st.insert(a[k]);
}
void Del(int k)
{
st.erase(st.find(a[k]));
}
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
n = nums.size();
for(int i = 1;i <= n; ++ i)a[i] = nums[i - 1];
int siz = sqrt(n);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)pos[i] = i / siz;
int m = n - k + 1;
for(int i = 1;i <= m; ++ i)q[i].l = i, q[i].r = i + k - 1, q[i].id = i;
sort(q + 1, q + 1 + m, [this](const Q &u, const Q &v)
{
return pos[u.l] == pos[v.l] ? u.r < v.r : pos[u.l] < pos[v.l];
});
int L = 1, R = 0;//当前区间
for(int i = 1;i <= m; ++ i)
{
//[L, R] -> [l, r]
int l = q[i].l, r = q[i].r, id = q[i].id;
while(L < l)Del(L ++);
while(L > l)Add(-- L);
while(R > r)Del(R --);
while(R < r)Add(++ R);
ans[id] = *st.rbegin();
}
vector<int> res;
for(int i = 1;i <= m; ++ i)res.push_back(ans[i]);
return res;
}
};
6、优先队列
优先队列可以理解为一个“堆”结构。
我们知道优先队列可以维护最值，但是他只有一个堆顶怎么办呢？
我们只能保证堆顶是最大值但是却无法保证堆顶是在窗口内的呀！
为了解决这个问题，我们在每一次查询堆顶之前，都要对堆顶进行检查，直到堆顶在窗口内才能输出。
注意以下几点：
1.堆里存放的是下标，但是比较函数用值比较。
2.每次取出元素之前堆顶检查，只要堆顶的位置不在窗口内就一直弹出。
上代码！
const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn];
class Solution {
public:
struct cmp{
bool operator ()(const int &u, const int &v)const
{
return a[u] < a[v];
}
};
priority_queue<int, vector<int>, cmp> pq;
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k)
{
int n = nums.size();
for(int i = 1;i <= n; ++ i)a[i] = nums[i - 1];
vector<int> res;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
pq.push(i);
while(!pq.empty() and pq.top() < i - k + 1)pq.pop();
if(i >= k)res.push_back(a[pq.top()]);
}
return res;
}
};
