Java算法——分治法

     一、基本概念
　　在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
　　任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

 

　　二、基本思想及策略
　　分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
　　分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
　　如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

 

　　三、分治法使用场景
　　分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
　　1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
　　2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
　　3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
　　4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
　　第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
　　第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
　　第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
　　第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

　　四、分治法得基本步骤
　　分治法在每一层递归上都有三个步骤：
　　step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
　　step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
　　step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

　　五、分治法的复杂性分析
　　一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
　　T（n）= k T(n/m)+f(n)
　　通过迭代法求得方程的解：
　　递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

    六、可使用分治法求解的一些经典问题
　　（1）二分搜索
　　（2）大整数乘法
　　（3）Strassen矩阵乘法
　　（4）棋盘覆盖
　　（5）合并排序
　　（6）快速排序
　　（7）线性时间选择
　　（8）最接近点对问题
　　（9）循环赛日程表
　　（10）汉诺塔

 

    七、分治法示例——循环赛

public class SportsSchedule {
public static void scheduleTable(int[][] table, int n) {
if (n == 1) {
table[0][0] = 1;
} else {
// 填充左上区域矩阵
int m = n >> 1;
scheduleTable(table, m);
// 填充左下区域矩阵
for (int i = m; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
table[i][j] = table[i - m][j] + m;
}
}
// 填充右上区域矩阵
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = m; j < n; j++) {
table[i][j] = table[i][j - m] + m;
}
}
// 填充右下区域矩阵
for (int i = m; i < n; i++) {
for (int j = m; j < n; j++) {
table[i][j] = table[i - m][j - m];
}
}
}
}

public static void main(String[] args) {
int n = 8;
int[][] table = new int[n][n];
scheduleTable(table, n);
for (int i = 0; i < table.length; i++) {
for (int j = 0; j < table[i].length; j++) {
System.out.print(table[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}