线性代数学习笔记（十三）

根据Strang的意思，正定矩阵将以下四者联系在一起，完成了大一统。

• 主元pivots，
• 行列式determinants，
• 特征值eigenvalues，
• 不稳定性instability

正定矩阵（Positive Definite Matrices）

两个条件构成正定矩阵：

• 对称矩阵
• 特征值都大于0

PS. 对称矩阵+特征值都小于0=负定矩阵，对称矩阵+特征值大于等于0=半正定矩阵，对称矩阵+特征值小于等于0=半负定矩阵

判断 对称矩阵 是不是 正定矩阵 ？

判断特征值是否都大于0这个方法计算量大，应该极力避免。可以从四个方向判断（只需矩阵对称+满足以下条件之一，就可推出矩阵是正定的），以2x2矩阵[a b; c d]为例：

1. 特征值：所有特征值都大于0（复习：对称矩阵特征值都是实数）
2. 行列式：a>0 且 ac-b²>0 （沿着主对角线向下，各级行列式都大于0）
3. 主元：：a>0 且 ( ac-b² )/a > 0
4. 稳定性：x^TAx>0（x是任意非零向量）待解释
5. least square：A能化为R^TR，且R的列向量相互独立（R可以是瘦瘦高高的长方形矩阵）待解释

解释1：大多数教材将x^TAx>0作为A是正定矩阵的定义。

解释2：第五点是书上特有的：在R列向量独立时，R^TR正定。证明很简单，x^TR^TRx=(Rx)^T(Rx)=||Rx||²，由于R列向量独立，所以||Rx||必大于0，问题化为4。

解释3：Strang似乎没说怎么讲上述5点连接起来，这里我总结以下：

• 5转为4：见解释2
• 4转为1：x若是A的特征向量，则x^TAx=x^Tλx=λ*||x||²，由于x^TAx>0（这是4的定义），故λ>0；x若是任意向量，可按特征向量拆分，x^TAx=(x1+x2+...)^TA(x1+x2+...)=(x1+x2+...)^T(λ1x1+λ2x2+...)=λ1*||x1||²+λ2*||x2||²+...>0（正交性消去了类似x1'x2这样的项）
• 1与2见上节笔记
• 2与3：行列式=主元乘积，因为沿着对角线向下的行列式都大于0，所以沿着主对角线向下的所有主元都大于0

x^TAx

这个式子太常见，所以有必要额外说明一下。

x^TAx是一个标量数字，在很多系统中表达“能量”的概念。如果将式子写成x=[x1, x2, ...]各个分量的表达式，最终将成为一个二次型（每项的变量次数和都是2）。

三维空间中将x1与x2当做平面坐标，再将x^TAx的值表达为第三维值，那么可以做出立体曲面来。

几何意义

首先来个直观的感受，摘自网上：

• 正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。 
• 半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。 
• 不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。 

A是2x2的情况下，令x^TAx=1（1：只要是常数就行，比如2,3都行），就是截立体曲面和平面的交线。

• 若A是正定的，那么交线是椭圆
• A是半正定的，那么交线是两条互相平行的直线
• A是不定型的，那么交线是双曲线

A是3x3的情况下，若A是正定的，那么“交面”是一个橄榄球（已经没办法想象A形成的曲面是什么样了，但是能推出其“交面”）；A是4x4的情况下……就没法想象了。

再回到2x2的情况下，A的特征向量就是椭圆的主轴！（待补充）