线性代数学习笔记（十二）

即使是实数矩阵，其特征值也可能为复数。所以我们也需要考虑矩阵元素为复数的情况。

复数

以下各小节可概括为一句话：将复数向量/矩阵转置时，记得同时对其取共轭！

向量的模长平方

假如向量z=[z1 z2 ... zn]^T, 每个分量都可能是复数，那么\( \left \| z \right \| ^2 \) 就不再是z^Tz，而是\( \bar{z}^Tz \)。

“共轭再转置”有个简化标记：\( \bar{z}^T=z^H \)，H表示Hermitian

Review：在复平面上理解复数a和复数b相乘，结果的模长是a和b模长的乘积，结果的角度是a和b角度之和。当a与b共轭时，角度正好为2pi。

向量的内积

和模长类似，向量y 与 向量x 的内积=\( \bar{y}^Tx = y^Hx \)

Note：内积的结果有可能是复数（但模长只能为实数）。

复数矩阵的对称性

为什么要定义对称复数矩阵？我们希望对称矩阵的特性（1.特征值都是实数；2. 特征向量互相垂直）在复数矩阵上也成立。

在证明对称矩阵的特征值都是实数时，关键一步是：\( \bar{x}^TAx=\bar{x}^T\lambda x=\bar{x}^T\bar{A}^Tx \)（参见上一节笔记），我们需要 \( A=\bar{A}^T=A^H \)才能保证复数矩阵特征值依然为实数。

因此，复数矩阵的对称性：\( A=\bar{A}^T=A^H \)，可知主对角线必为实数，且对称元素共轭。这和直观感觉的不是很一样，比如下面这个复数矩阵是对称的（感受一下）：

\( \begin{bmatrix}2 & 3-3i\\ 3+3i & 5\end{bmatrix} \)

酉矩阵（Unitary Matrix）

实对称矩阵的特征向量相互垂直，将所有单位特征向量按列向量拼凑，得到正交矩阵Q，有：\( Q^TQ=I \)

复对称矩阵的（复数）特征向量也相互垂直，其单位特征向量组成的正交矩阵（称之为酉矩阵）Q，有：\( \bar{Q}^TQ=Q^HQ=I \)

PS：第一次见到“酉”这么奇怪的翻译，百度为什么这么翻译得到的结果是：“酉”是Unitary的音译，据说是华罗庚的建议。中英文都有“一”和“元”的意思。

傅里叶变换

傅里叶矩阵

形式见下，并且满足：

• \( w^N=1 \)，也就是：是1的次方根的主值（primitive nth root of unity）,大小为，这里这个负号是依据惯例加的
• 将矩阵除以根号下N是依据惯例而加，目的是将列向量的模长变成1，从而成为单位正交基
  

 

• 这个矩阵在传统意义上对称，但不是Hermitian对称（1.主对角线元素不是实数；2.共轭转置不等于原矩阵）。
• 但是，这个矩阵是酉矩阵（unitary matrix），其不同列的列向量内积=0，也就是W^HW=I（待解决：为什么W的列向量是一组正交基？）
• 由上可知，W^T=W^H，也就是 傅里叶逆矩阵 同样具有 傅里叶矩阵 的性质（什么性质？似乎就是：1. 列是基；2. 可用FFT）

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)

我们需要将F或者F^-1与向量相乘，常规方法需要n²次乘法，FFT利用矩阵的周期性，将复杂度降为O(n*log n)，这个方法加速了众多工业领域的运算。

FFT的关键在于下面这个分解：

这部分讲的比较简略，没涉及到具体的例子，理解复杂度和应用还需要深入进去。BTW傅里叶变换在网易上也有一门专门的公开课。