线性代数学习笔记（十一）

这一节讨论实数领域的对称矩阵（一般情况下，实对称矩阵简称对称矩阵）。Strang说：It is no exaggeration to say that these are the most important matrices the world will ever see-in the theory of linear algebra and also in the applications.

实对称矩阵

特性：①实数特征值 ②正交特征向量

实对称矩阵如此重要的原因来自于特征[值/向量]的特性（应该学会用特征值/向量的特殊性来看矩阵了），下面是Spectral Theorem：

• 对称矩阵只有实数特征值
• 对称矩阵特征向量可以是正交的（说“可以”是因为例如I，所有向量都是它的特征向量，我们可以从中选出一组正交的） 

一个比较：

• 一般矩阵 A=SΛS^-1 （在A能对角化的前提下）
• 对称矩阵 A=QΛQ^-1=QΛQ^T  (复习：Q的逆等于Q的转置，因为QQ^T=I)（是否意味对称矩阵都能对角化？）

对称矩阵A=QΛQ^T这个分解的美妙之处，在于同时展示了特征值、特征向量、转置（QΛQ^T转置后不变）三者的关系于一身。

证明特征值为实数

首先将Ax=λx取共轭后再取转置得到(1右)，将(1左)与(1右)构造出相同的等号左半部分，从而得到右半部分必须相同。

证明特征向量之间相互垂直

注意利用转置这个特性。

分解为投影矩阵

记得最初的几节课，矩阵乘法可以看做row pic, col pic， 行乘以列，还有就是列行分块。这是第一次见到列行分块。将A拆分成（6）之后，每一项都是投影矩阵，对称矩阵A就是投影矩阵的组合。

其余内容

这部分内容真是太多了，将其余不是很重要的列在这里：

• 当A是对称的时候，特征值只能为实数，当A不是对称的时候，有可能引入复数特征值/向量（也可能刚好没引入）。可以知道的是，引入的复数特征值/向量都共轭成对出现，因为，可知共轭λ和共轭x也是A的特征值/向量
• 将对称矩阵A（前提）化成上三角矩阵后得到pivot，有多少pivot大于0就有多少A的特征值大于0
• 非对称矩阵在特征值有重复的情况下，可能没有n个独立的特征向量；但是对称矩阵即使在特征值重复的前提下，依然可以找到n个独立的特征向量