线性代数学习笔记（七）

逆矩阵：A^-1=C^T/det A

证明分两步：

• 对角线元素是由行列式公式所得，故为det A
• 非对角线元素可以看做是求一个两行相同的矩阵的行列式，例如：（7）中右侧(2,1)这个元素，可以看做将A的第二行copy覆盖第一行得到新A，再求新A的行列式的值。由于有两行元素相同，因此其行列式只能为0

与高斯消元法相比，公式法的优缺点：

• 缺点：计算量大，不适合计算机运算
• 优点：可以较为方便地观察，A的元素分布与变化对逆矩阵的影响，例如：下三角矩阵的逆也是一个下三角矩阵（可从cofactor角度推理，见P271例三）。

 

Cramer's Rule解Ax=b：得到x的每个分量的公式

x的每个分量 x_i 是两个行列式的商：

• 分子是A的行列式
• 分母是将A的第 i 列替换为b之后，得到的 B_i 的行列式

克拉默法则解方程组的代价比较大，需要解n+1个行列式，而解行列式是非常expensive的，因此也只有公式的价值，不能用其作为编程计算方法。

 书中是先得到Cramer法则，再得到逆矩阵公式，求Cramer法则的方法是：

1. 将I的第i列替换为x得到I*
2. 再将A与I*相乘，推得AI*=B_i
3. 两边取行列式，有det (AI*) = det (B_i)
4. 由“乘积行列式=行列式乘积”，得det (A) * det (I*) = det (B_i)
5. 由I*的特殊构造可以得到det(I*)=x_i
6. 故而x_i=det(B_i) / det (A)

随后将x设为A的逆的每一列，解方程得到A的逆的表达式（较为麻烦，略过，见P270）。

视频中是先给出逆矩阵公式（似乎没有推倒，只有验证），再用逆矩阵公式得到x=A^-1b=C^Tb / det (A)，最后说x的每个entry很像某个矩阵的行列式，再推两步得到这个矩阵就是B_i

行列式=体积

这应该是行列式最直观的解释了。视频略过证明，书中证明方法是将I进行变形得到任意的A，并归纳变形过程对体积的影响（似乎只需要两种变形就可以：①某行乘以t，体积也乘以t；②某行加上另一行，体积不变）。

三角形的体积（最后一列带1可以用第一行减去第三行，第二行减去第三行消去，然后行列式=第三行的1*Cofactor(3,3)，这个过程相当于将三角形第三个点移到原点）：

这里的“体积”不仅仅限于三维空间中，二维空间中是面积，三维是体积，四维是。。