线性代数学习笔记(六)

行列式

只有正方形的矩阵有行列式!行列式的应用概括来有三:

  • 用一种完全不如高斯消元法的办法(叫做Cramer's Rules),来解线性方程组(而且还只能用在n*n矩阵上- -!)
  • 有向面积体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广(好像很神奇)
  • 求特征值(这个很有用)

行列式的性质

性质1,2,3是basic properties,用这三条性质可以计算任意一个矩阵的行列式|A|:

性质1:n*n 单位矩阵 行列式= 1

性质2:行交换 → 行列式变号

性质1和2一起就可以推导出permutation matrix的行列式了

性质3:每一行的线性变换 都会影响 行列式的值

线性变换 = ①数乘,②加减

这很像长方形的边与面积的关系:长(第一行)*2,宽(第二行)不变,面积*2(长影响一次);长*2,宽*2,面积*4(长影响一次,宽再影响一次,每一行都会影响值!)

用性质1,2,3就能把任意矩阵的行列式拆成:一小撮卓有贡献的permutation矩阵(秩不等0)一大波吊儿郎当的无用矩阵(秩等于0) (上面第一行可以拆成三个矩阵,对这三个的每一个拆第二行。。以此类推,可以想象拆出来的矩阵个数何其之多)

后面的性质可以从前面三条推理得到。

性质4:两行雷同→行列式=0

性质2告诉我们,交换这两行(这里交换了等于没交换),行列式变号,所以只能为0

性质5:某一行 减去 其他行*anyNum →行列式不变

\( \begin{vmatrix}a & b\\ c-la &d-lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b\\ c &d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & b\\ -la &-lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b\\ c &d \end{vmatrix}+0 \)

第一个等号来自性质3,第二个来自性质4.

elimination不会影响行列式

性质6:某一行都为0→行列式=0

对这一行线性变换,值不变,由此得到只能是0。

性质7:上三角矩阵→行列式=∏(对角元素)

通过性质5来消去所有非对角线元素,再将系数一个个提取出来。

性质8:行列式=0 <=> 矩阵奇异,不可逆

联系消元过程。

性质9:|AB|=|A|*|B|

这个性质证明比较麻烦,略过,讲讲应用:

  • |A-1|*|A|=1,A与它的逆的行列式互为倒数,(说明可逆矩阵秩不能是1)
  • |A2|=|A|*|A|
  • |2A|=2n*|A|

性质10:转置之后,行列式不变

|A'|=|A|  <=>   |U'L'|=|LU|  <=>  |U'||L'|=|L||U|

这条性质让以上对行的操作,都可以等效在列上!

求解行列式的方法

pivot 

A=LU,转化为L和U之后,|A|=|L|*|U|,由于L和U都是三角矩阵,行列式好求

Big Formula

用性质1,2,3就能把任意矩阵的行列式拆成:一小撮卓有贡献的permutation矩阵(秩不等0) 和 一大波吊儿郎当的无用矩阵(秩等于0) ,big formula就是这一小撮permutation矩阵:

这些矩阵的性质是:原矩阵的每一行、每一列都只留下一个元素,构成新矩阵。挑选第一行元素有n种选法,第二行有n-1种。。一共有n!种(n的阶乘),即一共有n!项需要相加。

Cofactor 代数余子式

Big Formula一下给出n!项一起算,实在有些不方便。Cofactor 将与某个entry相乘的 factor(因子)提取出来,形成cofactor。

A去掉第i行第j列之后,剩下的部分拼起来是 aij 余子式,记为 Mij ,再乘以(-1)i+j,得到 aij 的Cofactor Cij = (-1)i+j * Mij

几步初等行变换之后,得到一行(or一列)零比较多的,然后再使用Cofactor大法:求这行(这列)的∑aij * Cij=∑aij * (-1)i+j * Mij

posted on 2014-03-23 18:14  eric.xing  阅读(1149)  评论(0编辑  收藏  举报

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