均匀载流圆柱面上磁感应强度计算

一般地，利用安培环路定律容易得到均匀载流圆柱面周围除圆柱面本身所在面处磁感应强度公式:

\[\begin{align*} B(r) = \begin{cases} 0 & 0 < r < R\\ \frac{\mu_0 I}{2\pi r} & r > R \end{cases} \end{align*} \]

对于\(r = R\)的情形下，安培环路定律无法计算。

利用比奥-萨瓦特定理，将无限长圆柱面按轴线方向分割为为无限长直电流，其周围场强公式为: \(B(r) = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}\)。
其中\(i = \frac{ds}{2\pi R}I\).

容易想到，将圆柱面上研究点放置与坐标原点，使用极坐标改写上式：
由于\(ds = \sqrt{\rho^2 + \rho^{'2}} = 2R\theta\)
\(d = \rho\)

因此\(dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi^{2}R}d\theta\)

\[B = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\mu_0 I}{4\pi^{2}R}d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \]

查阅文献发现北京大学物理系张之翔教授已于1987年发布的电磁学教学札记（35~36页）中，早已经给出了该公式的标准矢量形式。