圆周率$\pi$近似计算的误差分析
由于在实际使用中我们常常要求获得一定精度下的\(\pi\)值，因此对于近似公式的误差分析是必要的。
考虑在近似计算公式中给出的定积分展开:
\(\pi = 4\int^{1}\limits_{0}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = 4\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}\)
实际上对于第\(i\)个区间\([x_i-1, x_{i}]\),取\(\xi_i \in[x_i, x_{i-1}]\),
记\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\), \(\Delta x_i = x_{i} - x_{i-1}\)则
\(\int^{1}\limits_{0}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = \lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\)为定积分定义和式极限的标准形式。
由于\(f(x)\)为\(x\in(-\infty,+\infty)\)上的连续函数，从而当以\(x_i = \frac{i}{n}\)的形式分割区间,
取\(\xi_i = \frac{i}{n}\)时,和式极限：
\(\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i \overset{存在}{=} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}\)
当然以\(x_i = \frac{i}{n}\)的形式分割区间, 取\(\xi_i = \frac{i-1}{n}\)时,和式极限
\(\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i \overset{存在}{=} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}\).
若\(n\)为有限值，则下列和式
\(A(n) = 4\sum\limits_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}\)
\(B(n) = 4\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}\)
为两类估计.
由积分第一中值定理:
\(4\int_{\frac{i-1}{2}}^{\frac{i}{i}}f(x)\mathrm{d}x = 4f(\xi_i)\frac{1}{n}\) 其中\((\xi_i \in (\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}))\)
因此：
\(\pi = 4\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x = 4\sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{2}}^{\frac{i}{i}}f(\xi_i)\mathrm{d}x = 4\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\frac{1}{n}\)
考虑到\(x\in(\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n})\), \(f(x)\)为减函数, 因此\(f(\frac{i-1}{n})>f(x)>f(\frac{i}{n})\).因此：
即：
其中\(A(n)\)为不足估计,\(B(n)\)为过剩估计.
\(Rn \overset{def}{=} |\pi - A(n)| < |B(n) - A(n)| = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n} - \sum\limits_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n} = \frac{2}{n}\)
所以当要求精度\(\varepsilon\)时，取\(\forall n>= [\frac{2}{\varepsilon}], n \in N_+\), 计算：\(\pi^{'} = 4\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}\) 有\(|\pi - \pi^{'}|<\varepsilon\)成立！
