圆周率$\pi$的近似计算

圆周率$\pi$是圆的周长($C$)与直径($D$)的比值，一般用希腊字母$\pi$表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。

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在高一的一个周六下午，我和我高中最好的朋友尝试从圆周率定义的角度与无限分割的思想计算$\pi$的一般近似值，但最终只发现了一个形式上的等式，从而以失败告终。时过境迁，他已经是上海某著名师范院校的学生，而我却似乎很不得意。每每想起我的高中时光，想到我高中关系最亲密的朋友，这件事情就总会出现在我的脑海中，一时间百感交集~
不妨在此其分析过程展示如下：
在圆内作正接$n$边形，连接正多边形的顶点与圆形，构成$n$个等腰三角形，故正n边形的周长表示为：
$C = 2nR sin \frac{\pi}{n}$
此时多边形的直径为：$D = 2R$
所以周长与直径的比为：
$\phi(n) = \frac{C}{D} = nsin\frac{\pi}{n}$

直观上，正$n$边形的边数足够大，即对圆分割的越来越精密，会出现：
$\pi \approx \phi$ (n无限的大)

由于上式左右两边都含有常数$\pi$，故该表达式对于计算其值没有明显的帮助。
但当学习了极限的知识之后，我们容易证明：
$\lim_\limits{n\rightarrow \infty} nsin\frac{\pi}{n} = \lim_\limits{n\rightarrow \infty}n\frac{\pi}{n} = \pi$
从而该表达式在极限下具有正确的含义.

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由于这件事情对于我的印象十分深刻，以至于在学习了一元函数微积分之后，我又注意到存在一种通过定积分定义的方式计算$\pi$的方法如下：
$\because \frac{d}{dx} (arctanx) = \frac{1}{1+x^2}$
$\therefore arctanx = \int^{x}\limits_{0}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x$
$\therefore arctan(1) = \frac{\pi}{4} = \int^{1}\limits_{0}\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1+(i/n)^2}\frac{1}{n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}$
容易想到，只要我们取充分大的n，就可以得到充分精确的$\pi$值!

$$\pi \approx 4\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i^2}$$

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通过检验，该公式有效.

$\pi = 3.1415926535897932\dots$

$n$	$5000$	$10000$	$50000$	$100000$	$500000$	$1000000$
$\pi^{'}$	$3.1413926469231224$	$3.1414926519231177$	$3.141572653523099$	$3.1415826535731552$	$3.1415906535891183$	$3.1415916535895674$