有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有：
\[\iint_{\Sigma}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}(Q_0 - Q')
\]
其中，\(Q_0\)表示自由电荷，\(Q'\)表示极化电荷。
可见在电介质中计算电场与\(Q'\)有关，直接计算很困难。
问题分析
由于\(Q = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}Q_0\), 真空电容率\(\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r\)
从而：
\[\iint_{\Sigma}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_0}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}
\]
定义:点位移矢量:\(D \overset{def}{=} \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon\vec{E}\)
从而上式简化为:
\[\iint_{\Sigma}\vec{D}\cdot d\vec{S} = \sum_{i = 1}Q_{0i}
\]
有电介质时的高斯定理
\[\iint_{\Sigma}\vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_0
\]
说明:
1. 电位移矢量\(\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\vec{P}+\varepsilon_0\vec{E}\)
2.公式考虑了极化电荷的影响。
3.电位移线起于正的自由电荷而止于负的自由电荷.
