寿险精算基础
1 利息
利息即为货币现值和期值的差额，也可以说是使用资金的代价，如：在银行存入100元的一年定期存款，一年期满后可得本息107.47元，则7.47元即为银行支付的利息，而在每一定时间单位应缴的价格即为利率。如上例的利率为7.47%。 我们通常所指的利率为年利率，以百分率(%)表示，利率为寿险精算考虑的重要因素之一。
1.1 单利
在银行储蓄中，通常存入金额称为本金，积累到一个特定时期的一个总额称为本利和，在这特定时期所取得的利息是本利和减去本金。 表示利息的最基本公式是： S=P+I I=Pi S=P+Pi=P(1+i) S=本利和 P=本金 I=利息 i=利率 所谓单利就是在每个利息期末仅对本金计算利息的计算方式，通常银行储蓄是指按单利计息的。
1.2 复利
在人寿保险中，已取得的利息会留存在保险公司，把利息和本金合在一起再用于投资，再取得利息，这样的利息是复利。 以给定的年利率在第一年末的本利和为 S1=P(1+i) 在第二年末的本利和为 S2=S1+S1•i=S1(1+i)=P(1+i)2 以此类推，在第n年末的本利和为 S=P(1+i)n 以下我们所提到的利率均指复利。
1.3 现值
所为现值就是为了在一个特定时期末取得一定金额而现在所需要投资的本金。 ∵ S=P(1+i)n ∴ P=S/(1+i)n 即：为了在第n年末取得金额S，现在需投入本金P。 一般我们用v表示1/(1+i)，从而有 Vn=1/(1+i)n 亦即：为了在第n年末取得1元，现需投入本金vn。 如在n年每年初支付1元，则其现值为： 1+v1+v2+v3+...+vn-1 上述数值我们用an表示，则 an=1+v1+v2+v3+...+vn-1 =（1-vn ）/（1-v）
1.4 终值
根据以上推导，我们也可以反过来计算，每年初支付1元，共支付n年，第n年末的本息(我们 称其为终值，用Sn表示)。 显然，S1=1+i S2=(1+i)+(1+i)2 S3=(1+i)(1+i)2(1+i)3 ... 以此类推 Sn=(1+i)(1+i)2...+(1+i)n 经过数学计算 Sn=(1+i)n-1/I •(1+i) 事实上 Sn =an•(1+i)n(为什么?请思考) 以上的an 和 Sn在精算上 通常分别称为期首付确定年金的现值和期首付确定年金的终值。
1.5 几个例子
例1，假定年利率为3%，投资100元，在10年后将积累到多少金额? 100(1+3%)10=100×1.34392=134.39(元) 例2，假定年利率为3%，为了在10年后积累到100元，现在需本金多少? 100(v10)=100×0.74409=74.41(元) 例3，假定年利率为3%，为了在20年内每年期首支付100元，现需本金为多少? 100•a20=100×15.3238=1532.38(元) 例4，假定年利率为3%，在20年内每年期首支付100元，在第20年末将积累多少金额? 100•S20=100×27.67648=2767.65(元)
2 生命表
2.1 概述
生命表示即死亡表。它是以数字表示一代人自出生到死亡这一过程中生命情况的统计表。通常是假设以10万人为一单位，观察此10万人中每一个人从出生至死亡，直到10万人全部死亡的记录。也就是说生命表是假设在一年开始时，有10万个婴儿(男、女分开计)同时出生，这10万个婴儿因先天与后天的差别，在以后的各年间生存人数不断减少，死亡人数不断增加，直到这10万人全部死亡为止，把这种由出生至死亡各年间所经历的过程，用统计方法加以整理和分析编制成各年龄的生存、死亡之比率及平均期望之寿命等便是生命表。 人寿保险的保障性质要求我们对所承保的被保险人群的未来死亡状况做出预测，只有这样才能保证寿险公司对保险定价的准确合理，因此生命表是人寿保险公司通过精算制定保险费率 的基础。 生命表分为国民生命表和经验生命表。国民生命表通常是国家人口统计部分根据人口普查数据资料得到的，而由于人口普查统计资 料的收集方法往往会导致数据产生错误或误差，因此人口统计部门提供的死亡统计资料是不 够完整和精确的。同时人口普查所真对的人群与寿险公司所承保的被保险人群的死亡率往往 会有一定的差异，因此国民生命表不用于寿险公司在计算保险费率时使用。 经验生命表是寿险公司根据多年经营过程中所积累的被保险人的死亡统计资料而编制的。由 于保险公司对被保险人的死亡统计资料积累记录往往比较完整、准确，这也就便于得出按各年龄和性别分类的准确死亡率，依此编制出的经验生命表必定与寿险公司经营过程中所发生的死亡率有较好的拟合性。 一般地，被保险人的经验死亡率应明显低于人口普查的死亡率，这是因为被保险人是经过保险公司的"危险选择"而进来的，具有较高死亡率的人将不被列入统计观察之列。因此，人寿保险公司现在使用的生命表都是根据大量被保险人的死亡统计资料编制的。
2.2 生命表的构成及其内在关系
在生命表中，通常由以下几项构成： 年龄------用x表示，x取0,1,2,...,w,w为生命表中最高年龄。 生存人数------用lx表示，l０=100000，lx为生存到x岁的人数。 死亡人数------用dx表示，dx为生存至x岁但在x+1岁前死亡的人数。 生存率------用px表示，px为年龄x岁的人生存至x+1岁的机率。 死亡率------用qx表示，qx为年龄x岁的人在x+1岁之前死亡的机率。 平均余命------用ex表示，ex为年龄x岁的人在未来的平均存活年数。 在生命表中，有以下关系： (1)lx+1=lx-dx dx=lx-lx+1 (2)lx+n=lx-(dx+dx+1+dx+2+...+dx+n-1) (3)px=lx+1/lx x岁者至x+n岁仍生存的机率为 npx=lx+n/lx (4)qx=dx/lx x岁者在未来n年内死亡的机率为 nqx=（lx-lx+n）/lx (5)px+qx=1 (6)ex=0.5+1/lx*（∑w-xt=1lx+t） 在寿险数理精算中，为了便于推导和简化计算，通常引入 下 列换算符号，这些符号的数值，可在利率与生命表确定时，从专门的换算表中查定出来。 Dx=vx•lx Nx=Dx+Dx+1+...+Dw Sx=Nx+Nx+1+...+Nw Cx=v1/2+x•dx Mx=Cx+Cx+1+...+Cw Rx=Mx+Mx+1+...+Mw
2.3 生命表的编制
2.3.1 死亡率的计算
生命表是用各年龄的死亡率来编制的。在生命表中通常以10万个同时出生的婴儿群体为观察对象，而在实际中保险公司不可能同时接受10万人进行终身观察，即不可观察10万人从0岁到99岁的死亡情况。保险单是逐日签发的，而且签发给各种年龄的人。然而每家保险公司可 以保持其所有被保险人的记录，这些记录可以提供各种年龄的观察人数和每个观察期已 死亡的人数。因此，如果收集到足够多的数据，即可根据所观察人的年龄，观察期，按性别的各种年龄的死亡人数编制生命表。 例如，假定我们收集到了下列数据
| 年龄 | 观察年的人数 | 年内死亡人数 | 年内死亡率 |
| 0 | 5000 | 40 | 0.0080 |
| 1 | 3000 | 9 | 0.0030 |
| 2 | 4500 | 18 | 0.0040 |
| 3 | 8000 | 36 | 0.0045 |
| ... | ... | ... | ... |
根据以上数据，可以编制生命表如下： (1) (2) (3) (4) (5) 年龄x 生存人数lx 死亡人数dx 生存率px 死亡率qx[BH] (2)×(5) 1-(5) 0 100000 800 0.9920 0.0080 1 99200 298 0.9970 0.0030 2 98902 396 0.9960 0.0040 3 98506 443 0.9955 0.0045 ... ... ... ... ...
2.3.2 死亡率的调整
通常在依据死亡率数据制定出生命表后，还需要进行适当地调，以满足寿险公司在精算时的 实际需要，调整的方法有两种： (1)修匀法。使用修匀法可以消除观察数据中不规则的部分，即把样本经验数据中不符合总 体特点的部分剔除，把死亡率"修匀"为一条平滑的曲线，且仍保持观察数据的基本特点。 在进行修匀时，要根据所使用的数据和计算的目的选择某一种修匀方法。 (2)安全系数。对所得出的死亡率平滑曲线再增加适当的安全系数，例如，在最终生命表 的基础上对各年龄的死亡率上浮20%，以抵消由于自然灾害、战争、流行病等未预料到的事 件引起的死亡率增加。而对于用来计算年金险或生存保险的生命表，可通过对各年龄死亡率 下浮的办来增加安全系数。
2.3.3 我国生命表的编制
自改革开放以来，我国人身保险业务经过十多年的发展，积累了一定的经营管理方面的经验 ，这其中，包括有较丰富的经验数据资料和一大批长期从事保险业务的专门人才，特别是培 养了掌握制作经验生命表技术的精算人才，使得我国人寿保险业经验生命表的制作成为可能 。 自1995年4月开始，编制小组在对数据资料进行研究的同时，研究国际上的编表技术，在借鉴国际经验的基础上，充分听取有关专家及保险实践工作者等多方面的意见，经过多方共同努力，于1995年7月底顺利完成了"中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)"的技术编制工作。目前该生命表已被我国各家保险公司采用。
2.4 死亡指数与额外死亡率
如前所述，在生命表中所给写的死亡率，是根据保险公司以往经验统计得到的，死亡率qx表示保险公司所承保的年龄X岁被保险人群的平均死亡率。而就年龄X岁的这一被保险人群 来说，因每个人的生命经历不同，先天后天因素的影响，致使这年龄X岁的每一被保险人在实际中发生死亡的机率是不同的。具有某种缺陷因素者如高血压、糖尿病患者，其未来发生死亡的机率会远大于生命表给出的死亡率。 在实际工作中，保险公司所制定的保险费率是以生命表为基础的，即将生命表中给定的死亡率作为预定死亡率，而对于具有某种缺陷因素者(缺陷体或额外危险体)。为了风险评估的需 要，通常引入死亡指数的概念，死亡指数可用下列方法计算： 死亡指数=缺陷体(额外危险体)人群死亡率/生命表中预定死亡率 ×100% 死亡指数用百分比来表示，通常其数值大于1。在核保实务中，我们通常也将死亡指数称为总死亡率，用TM表示，则 缺陷体人群死亡率(q′x)=TM•qx 在作核保时，我们往往会拿缺陷体人群死亡率q′x与生命表中的qx相比较。一般我们将 缺陷体人群死亡率q′x所超出qx的百分比称为额外死亡率，用EM表示，显然有： EM=TM-1 即： q′x=(EM+1)•qx=EM•qx+qx 对于各种缺陷体，其EM值的确定，可通过查定核保手册得到。因此，对某种缺陷体面言，在EM值确定的情况下，我们可以得到该缺陷体人群的生命表，这一缺陷体人群生命表为我们未来计算额外保费的基础。
3 纯保费的计算
人寿保险的保险费一般分为纯保费(或称净保费)和总保费(或称毛保费)，所谓纯保费，是保险公司依据预定的死亡率和预定利率而计算出来的保险费。它不包括任何营业费用，并且保险费等于所承担的保险责任。 在这里我们做如下假定： 所有保险费都是在期初缴费； 所有死亡给付都发生在年中。
3.1 趸交纯保费的计算
趸交纯保费，即为投保人在投保时向保险人一次缴纳的纯保险费总额。 （一）自然保费 所谓自然保费，即为正好用于当年死亡给付而应缴纳的纯保费。亦即为一年定期死亡保险的趸交纯保费。 我们用Cx来表示保额1元的自然保险费，x表示年龄，假定年龄为x岁的lx人每人缴纳Cx，用于年中死亡的dx人来分摊，考虑到利息因素，显然有： lx•Cx=v1/2•dx 即Cx=v1/2•dx/lx= v1/2•qx 例1 试求投保年龄31岁至24岁保额10000元的自然保费(生命表为日本全会社第二回，i=7.5%) C31=10000×0.96449×0.00149=14.37元 C32=10000×0.96449×0.00156=15.05元 C33=10000×0.96449×0.00163=15.72元 C34=10000×0.96449×0.00172=16.59元 由此可以看出，随着年龄的增长，死亡率逐年上升，被保险人所缴纳的自然保险费也会相应提高，因而在采用自然保费制收取保费 时，不同年龄的人所缴纳的保险费也就各不相同。 （二）定期生存保险的趸缴纯保费 年龄x岁的人，投保n年定期生存保险，我们用Ax∶n1来表示保额为1元定期生存趸缴纯保费。lx人在投保时所缴纳的共lx•Ax∶n1保险费， 由n年期满时所生存的lx+n人来分摊，考虑利息因素，显然有 lx•Ax∶n1=vn•lx+n 即Ax∶n1=vn•lx+n/lx=Dx+n/Dx 例2 试求30岁投保5年定期生存保险，保额10000元的趸缴纯保费。 根据以上公式，保额10000元的趸缴纯保费的 10000•Ax∶n1=10000•A30∶51 =10000•D30+5/D30 =10000×7572.9160/10957.4519 =6911.20(元) （三）定期死亡保险的趸缴纯保费 年龄x岁的人，投保n年定期死亡保险，我们用Ax1∶n来表示保额1元的定期死亡趸缴纯保费。lx人在投保时所缴纳的共lx•Ax1∶n保险费， 用于给付那些第1年死亡的dx人每人1元，第2年死亡的dx+1人每人1元，......，第n 年死亡的dx+n-1人每人1元，考虑到利息因素，显然有： lx•Ax1∶n=v1/2dx +v1/2+1dx+1 +...+v1/2+n-1dx+n-1 即 Ax1∶n=（v1/2dx +v1/2+1dx+1+...+v1/2+n-1dx+n-1）/lx =（Cx +Cx+1+...+Cx+n-1）/Dx =（Mx-Mx+n）/Dx 例3 试求30岁投保保额10000元的5年定期寿险的趸缴纯保费，依公式，该趸缴纯保费应为 ： 10000•Ax1∶n =10000•A301∶5 =10000•（M30-M35）/D30 =10000×(749.9902-678.6768)/10957.4519 =65.08(元) （四）定期两全保险趸缴纯保费 我们用Ax∶n表示年龄x岁的人投保n年期保额为1元定期生死两全保险的趸缴纯保费，显然有： Ax∶n=Ax1∶n+Ax∶n1 即Ax∶n=（Mx-Mx+n +Dx+n）/Dx （五）终身死亡保险趸缴纯保费 终身死亡保险即保险期限限于被保险人的一生，在其死亡时给付保险金的保险，人总有一死，只不过有早晚之分，因此对保险人来讲，投保终身保险没有固定的期限，什么时候死亡，什么时候保险责任终止。 我们用Ax表示保额1元的终身死亡保险的趸缴纯保费，在定期死亡保险趸缴纯保费的计算公式Ax∶n中取n充分大，即可得到 Ax=（Mx-Mw）/Dx 由于Mw=0，所以Ax =Mx /Dx 例4 试求30岁投保保额10000元终身寿险的趸缴纯保费 运用上述公式，该趸缴纯保费为 10000 Ax =10000A30=10000•M30/D30 =10000×(749.9902/10957.4519) =684.46(元)
3.2 年缴纯保费的计算
（一）生命年金的现值 1.定期生命年金的现值 我们用ax∶n表示年龄x岁的人n年定期生命年金的现值，亦即年龄x岁的人在n年内，若生存，则每年期首支付1元，直至n年期满；若n年内身故，则终 止支付，此一支付方式的现值即为ax∶n 。 假定生命表中年龄x岁的lx人均来参加这一支付方式，则有 lx•ax∶n=lx +vlx+1+...+vn-1•lx+n-1 显然 ax∶n=（lx +vlx+1+...+vn-1•lx+n-1）/lx 即ax∶n =（Dx +Dx+1+...+Dx+n-1）/Dx=Nx-Nx+n/Dx 2.终身生命年金的现值 我们用ax来表示年龄x岁的人的终身生命年金的现值，在定期生命金的现值的计算公式ax∶n中取n充分大，即可得到 ax=（Nx-Nw）/Dx 由于Nw=0，所以ax=Nx/Dx （二）定期生存保险的年缴纯保费 用符号Px∶n1表示年龄x岁的人投保保额1元的n年定期生存保险的 年缴纯保费。依据"年缴纯保费的现值=趸缴纯保费"这一计算原理。 Px∶n1•ax∶n=Ax∶n1 Px∶n1=Ax∶n1 /ax∶n 即Px∶n1=Dx+n/Nx-Nx+n 例5 试求30岁投保5年定期生存保险，保额10000元的年缴纯保费。 利用上述公式，该年缴纯保费的 10000•Px∶n1=10000•P30∶51 =10000•D30+5/（N30-N30+5） =7572.9160/（146688.7252-99162.9015） ×10000 =1593.43元 （三）定期死亡保险的年缴纯保费 用符号Px1∶n表示年龄x岁的人投保保额1元的n年定期死亡保险的年缴纯保费，依据上述同一计算原理，我们得到 Px1∶n•ax∶n=Ax1∶n Px1∶n= Ax1∶n / ax∶n 即Px1∶n =Mx-Mx+n/Nx-Nx+n 例6 试求30岁投保5年定期死亡保险，保额10000元的年缴纯保费。 利用上述公式，该年缴纯保费为： 10000•Px1∶n=10000•P301∶5 =10000•（M30-M35）/（N30-N35） =（749.9902-678.6768）/（146688.7252-99162.9015）×10000 =14.98(元) （四）定期两全保险的年缴纯保费 用符号Px∶n表示年龄x岁的人投保n年期保额为1元定期生死两全保险的年缴纯保费，显然有 Px∶n=Px1∶n+Px∶n1 即Px∶n=（Mx-Mx+n+Dx+n）/（Nx-Nx+n） （五）终身保险年缴纯保费 用符合Px表示年龄x岁的人投保保额1元的终身保险年缴纯保费，依据"年缴纯保费现值= 趸交纯保费"这一计算原理： Px•ax=Ax Px=Ax/ax 即Ｐx=Mx/Nx 例7 求30岁投保保额10000元终身寿险的年缴纯保费依公式，该年缴纯保费为 10000•px=10000•P30=10000•M30/N30 =10000•749.9902/146688.7252 =51.13(元)
3.3 额外保险费的计算
在寿险经营过程中，因核保工作的开展，为了公司、客户之间的公平合理性。对于具有某种缺陷体而使额外死亡率达到某一限额的被保险人，需加收一部分额外保险费，以维护客户之间的公平性，保证保险公司的健全经营。 我们用△P表示额外保险费。我们知道，在标准保费P的计算过程中，P为预定死亡率qx的函数，即： P=P(qx) 假定对某一缺陷体，其额外死亡率为EM。则对于该缺陷体的未来预定死亡率(我们用qx表示)为 M•qx+qx，即： q′x=EM•qx+qx 对于缺陷体的未来预定死亡率q′x，我们运用同一保费计算公式，可以得到具有该缺陷体的保户在投保同一险别时应缴纳的保费(我们用P′表示) P′=P(q′x) 在保户已缴纳标准保费P的情况下，尚须缴纳的额外保费为： P=P′-P =P(q′x)-P(qx) =P(EM•qx+qx)-P(qx) 此即为额外保险费的计算公式。
4 责任准备金与现金价值
4.1 概述
从理论上讲，人寿保险公司可通过两种方法收取期缴的人寿保险费，即分别为自然保险费的计算方法和均衡纯保费的计算方法。而在实际中，由于人寿保险是以人的生死作为"危险"来经营的，那么，在正常情况下，人的死亡率，除婴儿死亡率较高外，一般都是随着被保险人年龄的增长，死亡率逐年增加。如果采用自然保费的缴付方法，其每年应缴付的保险费必须随着被保险人年龄的增加而逐年上升。自然保费恰好足以抵付保险公司当年度死亡给付所需要的金额而没有剩余。但这种方式对年龄较大者来说，因负担保费较重，而参加者逐年减少，所以采用自然保费来缴付逐年保费的这一缴费方法在实际中现在已基本上不再使用。现在保险公司均采用逐年收取相等保险费的做法，即年缴均衡纯保费。由于年缴均衡保费规定，每年投保人要缴付相等的保费，而按自然保费计算的被保险人的"危险"随年龄增长而逐年增加的。因此，在投保后一定时期内，投保人缴付的均衡纯保费大于自然保费，并没有完全用于当年度的死亡给付，而是有所积累；而在一定时期后，投保人缴付的均衡纯保费小于其应缴付的自然保费，不足于抵付保险公司当年度的死亡给付， 而是由前一时期的积累部分来抵偿。因此保险公司在经营过程中应将投保人早年所多缴的保险费要为运用生息，增加积累，以用于晚年不足给付时的需要。这一多缴部分的保险费，以复利生息，其终值即为寿险均衡纯保费责任准备金。 人寿保险公司的准备金是公司对保险单所有人的负债，它占了人寿保险公司资产的绝大部分比例。例如人寿保险公司不提存适当的准备金，它就有可能变为无偿债能力，最终不能给付保险金。为了保证寿险公司长远稳定经营及投保人的利益，必须提取足够的责任准备以应付将来给付的需要。各国政府的保险管理部门经常对保险公司的准备金提存及资金运用的安全性予以监督，以保证投保人的利益不受损害。我国的保险业目前由中国人民银行保险司负责管理和监督。
4.2 均衡纯保费责任准备金
（一）过去法 过去法，也称追溯法。它是用过去所缴付的纯保费复利终值减去过去给付保险金的终值，以其差额来计的责任准备金的一种方法。以保额1元的定期n年死亡保险为例，其计算公式为： tV′x∶n=P′x∶n•（Nx-Nx+t）/Dx+t-1•（Mx-Mx+t）/Dx+t 其中，tV′x∶n表示第t年末的责任准备金，P′x∶n为年缴纯保费。 在此公式中，前一项代表投保人缴纳的保费在第t年末的复利终值，后一项代表保险公司至第t年末以前已给付保险金的复利终值。 例1 求30岁投保5年定期死亡保险，保额10000元的各保单年度末的责任准备金。 依据上节例6，该例的年缴纯保费为： 10000P130∶5=14.98元 第一保单年度末责任准备金 10000•1V130∶5 =10000•P130∶5•（N30-N31）/D31-10000•（M30-M31）/D31 =14.98× (146688.7252-135731.2733)/10178.4219-10000×(749.9 902-734.8976)/10178.4219 =16.13-14.83 =1.30(元) 依此类推 第二保单年度末责任准备金 10000•2V130∶5=33.49-31.46=2.03(元) 第三保单年度末责任准备金 10000•3V130∶5=52.19-50.05=2.14(元) 第四保单年度末责任准备金 10000•4V130∶5=72.32-70.86=1.46(元) 第五保单年度末责任准备金 10000•5V130∶5=94.18-94.18=0 第五保单年度末因保险责任已全部终止，因而责任准备金为0。 （二）未来法 未来法，也称将来法或预期法。它是用将来保险金额之现值与将来可收之末缴保险费之现值的差额来计算责任准备金的一种方法。以保额1元的定期n年生存保险为例，其计算公式为： tVx∶n1=1•Dx+n/Dx+t -Px∶n1•（Nx+t-Nx+n）/Dx+t 其中，tVx∶n1表示第t年末的责任准备金，Px∶n1为年缴纯保费，公式中前一项代表末来给付保险责任的现值，后一项代表将来可收取保费的现值。 例2 求30岁投保5年定期生存保险，保险10000元的各保单年度末的责任准备金。 依据上节例5，该例的年缴纯保费为：10000•P30∶51=159 3.43元 第一保单年度末的责任准备金 10000•1V30∶51=10000•D35/D31-10000•P30∶51•（N31-N35）/D31 =10000× (7572.9160/10178.4219)-1593.43×(135731.2733-99162.9015)/10178.4219 =7440.17-5724.77 =1715.40(元) 依此类推 第二保单年度末的责任准备金 10000•2V30∶51=8010.14-4447.83=3562.31元 第三保单年度末的责任准备金 10000•3V30∶51=8624.33-3073.27=5551.06元 第四保单年度末的责任准备金 10000•4V30∶51=9286.33-1593.43=7692.90元 第五保单年度末的责任准备金 10000•5V30∶51〖=10000元第五保单年度末的责任 准备金刚好可用来给付满期生存责任。 过去法和未来法都是计算期末责任准备金的方法。虽然前者以过去已缴付保费的终值为主计算准备金，后者以来保险利益现值为主计算准备金，但二者所计的同一年末的准备金金额是相等的。 （三）各类责任准备金的计算公式 1.过去法 a)定期保险 tVx１∶n=Px1∶n•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t b)生存保险 tVx∶n1=Px∶n1•(Nx-Nx+t)/Dx+t c)两全保险 tVx∶n=Px∶n•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t d)终身死亡保险 tVx=Px•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t 2.未来法 a)定期保险 tVx１∶n=1• (Mx-Mx+t)/Dx+t-Px1∶n•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t b)生存保险 tVx∶n1=1•(Dx+t /Dx+t)-Px∶n1•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t c)两全保险 tVx∶n=1•(Mx+t-Mx+n+Dx+n)/Dx+t-Px∶n•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t d)终身死亡保险 tVx=1•(Mx+t /Dx+t)-Px•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t
4.3 危险保额与危险保费
（一）危险保额 人寿保险的每张保单都有其自己的准备金，在一个特定的时期内，这些准备金是保险公司对保单持有人的负债。责任准备金随着保单年度的变化而变化，保单满期时，责任准备金恰好等于满期保险金额。在保险期间内，若发生保险事故，保险公司所给付的保险金中，有一部分是被保险人本人准备金的积累，保险公司真正承担的风险是保险金额与准备金的差额部分，这一保险金额与准备金的差额即称为危险保额。 危险保额随保单年度的变化而变化，就一张保单而言，保单开始的初期，由于准备金积存太少，若发生保险事故，保险公司按保险金额给付保险金，此时保险公司所承担的净风险就大；随着准备金的增多，保险净风险会逐渐减少，至保险期满时，保险净风险将趋近于零。所以一张保单在任一保单年度的危险保额，就是保险金额减去该年度的责任准备金。 我们以tNx表示单位保额的危险保额，tV为单位保额的责任准备金，则 tNx=1-tV 例3 求30岁投保5年定期两全保险，保险金额10000元的逐年危险保额。 依据两全保险的责任准备金计算公式，在该例中，各年度未的责准备金为： 10000•1V30∶5=1716.70 10000•2V30∶5=3564.34 10000•3V30∶5=5553.20 10000•4V30∶5=7694.36 10000•5V30∶5=10000 故各年度的危险保额为： 10000•1N30=10000-10000•1V30∶5=8283.30 10000•2N30=10000-10000•2V30∶5=6435.66 10000•3N30=10000-10000•3V30∶5=4446.8 10000•4N30=10000-10000•4V30∶5=2305.64 10000•5N30=10000-10000•5V30∶5=0 （二）危险保费 在人身保险精算中为了看清及分析投保人所缴纳纯保费的功用与构成，更深刻地理解寿险商品设计的基本原理，我们通常可将投保人所缴的保险费P分解为两部分，即 P=Pr+Ps 其中，Pr表示危险保费，Ps表示储蓄保费。 所谓危险保费，就是为承担保险公司每年净风险(危险保额)而应提取的保险费；而储蓄保费是为了积累责任准备金而应提取的保险费。故 Pr=vqx+t(1-t+1V) Ps=v•t+1V-tV 以下我们来证明均衡纯保费可分解为： P=vqx+t(1-t+1V)+(v•t+1V-tV) 假设生命表中，所有年龄x岁的lx人均参加保险，则在第t+1年初的准备金总数为： lx+t•tV+lx+t•P=lx+t(tV+P) 这一准备金总数在t+1年末的本利和为： lx+t•(tV+P)(1+i) 但由于当年死亡的dx+t人每人得到1元保险金，故至第t+1年末的准备金总数为： lx+t•(tV+P)(1+i)-dx+t 这一准备金总数由第t+1年末生存的lx+t+1人来分摊即 t+1V=(lx+t•(tV+P)(1+i)-dx+t）/lx+t+1 运用换算符号之间的关系，经过数学推导即可得到。 P=vqx+t•(1-t+1V)+(v•t+1V-tV) 通过Pr=vqx+t•(1-t+1V)，我们可以看出，危险保费即为将危险保额作为保险金额而应缴纳的自然保险费；而通过Ps=v•t+1V-tV，我们可以得到：t+1V=(tV+Ps)(1+i)，如果把上年底的责任准备金视为储金，加上新存入的Ps，则到年底的本利和为Ps。 虽然年缴纯保费P是均衡的(每年都相等)，而经过分解后的Pr与Ps则是随保单年度而变化的。
4.4 现金价值
所谓现金价值，即为我们通常所讲的退保金、解约金。人寿保险契约通常为长期性的，投保人需要在缴费期内按约定定期缴纳保险费，但由于受个人经济条件的限制及客观经济条件变化等因素的影响，往往会造成投保人在中途解约，即退保，若此时投保人缴纳的保险费已达到某一规定次数，保险公司应当支付客户一定的退保金。 从责任准备金提取上来讲，由于保险公司每年要提存责任准备金，而责任准备金又是保险公司对投保人的一种负债。因此在退保时，应将这一负债额的绝大部分，退还给投保人，这一退还的金额即为保单现金价值，或称退保金。 而发生退保时，通常对保险公司有如下不利影响： 1死亡率之逆选择，一般情况下，身体不健康或体弱者不愿退保，大量身体健康者的退出，会使留下的被保险人的平均死亡率提高，而造成逆选择； 2不利于资金运用，保险公司因要准备相当金额的退保会，供退保者支取，所以，一部分资金不能长期运用生息，致使利息收入减少； 3费用无法摊提，在保单初年度因各项费用较高，需在续年中逐步摊回，但由于中途终止契约，部分费用无法摊提，这一未"摊回"的费用，应在退保时一次"摊回"。 4办理退保手续等事项，需要一定的人力，物力及费用支出。 由于上述不利因素的影响，在客户单方面提出解约退保时，应承担保险人的部分损失，因此退保金不能完全与退保时的责任准备金相等，而应从责任准备金中扣除一定的费用，作为对保险公司的补偿。通常我们以tC表示解约费用，tCV表示保单现金价值，则 tCV=tV-tC 在退保时，准确地计算出应扣除的tC是很不容易的，因此，在实务上对解约费用，一般都扣除一个固定的金额，或保额的一定比例。对此各国保险法规都有一定的规定。如台湾保险法规定，此一数额不得超过实际准备金的25%，而有的公司规定这一数额按保额的1-2%扣除。
