生成函数初学

定义

生成函数：指无穷级数与函数的对应，其中无穷级数表示一个无限的数列的和。

我们定义一个生成函数 $f (x)$ 是收敛的，当且仅当 $f (x)$ 随着 $x$ 的定向变化趋向于一个确定的极限值。如令 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，当 $x \to \infty$ 时， $f (x) = \frac{1}{x} \to 0$ ，为定值。

同理，与其相反地，我们定义一个生成函数 $g (x)$ 是发散的，当且仅当 $g (x)$ 随着 $x$ 的定向变化趋向于无穷，即 $g (x)$ 的值没有极限。如 $g (x) = 2 x$ ， $x \to \infty$ 时， $g (x) = 2 x \to \infty$ 。

生成函数的主要应用是求排列组合。

下面以一道例题引入。

有 $n$ 种物品可供选择，其中第 $i$ 种物品有 $c_{i}$ 个，现在要从中选取 $k$ 个物品，求方案数。

我们用 $x_{i}$ 表示第 $i$ 个物品。对于第 $i$ 种物品构造一个式子，形如：

{x_{i}}^{0} + {x_{i}}^{1} + {x_{i}}^{2} + \dots + {x_{i}}^{c_{i}}

也即：

1 + x_{i} + {x_{i}}^{2} + \dots + {x_{i}}^{c_{i}}

第 $i$ 个式子有 $c_{i} + 1$ 项，其中式子的第 $j$ 项表示第 $i$ 种物品 $x_{i}$ 取了 $j - 1$ 个。

我们将取物品的过程看作对每一种物品分开考虑选取再合起来，那么可以将由上述方式得到的 $n$ 个式子相乘，得到

(1 + x_{1} + \dots + {x_{1}}^{c_{1}}) (1 + x_{2} + \dots + {x_{2}}^{c_{2}}) \dots (1 + x_{n} + \dots + {x_{n}}^{c_{n}})

因为只考虑选取物品的个数，不考虑选取的物品具体是哪一种，所以所有的角标可以去除，即

(1 + x + \dots + x^{c_{1}}) (1 + x + \dots + x^{c_{2}}) \dots (1 + x + \dots + x^{c_{n}})

将表达式展开，不难得出 $x^{k}$ 项前的系数即为答案。

普通型生成函数的一般形式：

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i} \\ = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n} \end{aligned}

令 $a_{i} = 1$ ，就得到了最常见的普通型生成函数：

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{i = 0}^{\infty} x^{i} \\ = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots \end{aligned}

令 $S = f (x)$ ，则 $x S = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} \dots$

两式相减，得到 $(x - 1) S = - 1$ ，故 $f (x) = S = - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}$ 。

考虑在最常见的普通型生成函数做一些变形。

$x \to - x$ ， $f (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^{i} x^{i} = \frac{1}{1 + x}$ ；
$x \to 2 x$ ， $f (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} 2^{i} x^{i} = \frac{1}{1 - 2 x}$ ；

对任意实数 $a, b, n$ ，有

(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{m - i}

一般来说，使用时通常有 $b = 1$ ，那么有

(x + 1)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i}

拓展一下，可以得出

\frac{1}{(1 - x)^{n}} = \sum_{i = 0}^{\infty} (\binom{n + i - 1}{i}) x^{i}

将题意中的十条限制用式子表示出来，即

{\begin{cases} 1 + x^{6} + x^{12} + \dots \\ 1 + x + x^{2} + \dots + x^{9} \\ 1 + x + x^{2} + \dots + x^{5} \\ 1 + x^{4} + x^{8} + \dots \\ 1 + x + x^{2} + \dots + x^{7} \\ 1 + x^{2} + x^{4} + \dots \\ 1 + x \\ 1 + x^{8} + x^{16} + \dots \\ 1 + x^{10} + x^{20} + \dots \\ 1 + x + x^{2} + x^{3} \end{cases}

这十个式子都可以用等比数列转化形式，相乘可得

\frac{1}{1 - x^{6}} \times \frac{1 - x^{10}}{1 - x} \times \frac{1 - x^{6}}{1 - x} \times \frac{1}{1 - x^{4}} \times \frac{1 - x^{8}}{1 - x} \times \frac{1}{1 - x^{2}} \times \frac{1 - x^{2}}{1 - x} \times \frac{1}{1 - x^{8}} \times \frac{1}{1 - x^{10}} \times \frac{1 - x^{4}}{1 - x}

分子部分每一个式子在分母部分都有相同的式子，可以直接约去，最后分母还剩下 $(1 - x)^{5}$ 。

所以相当于我们要求 $\frac{1}{(1 - x)^{5}}$ 展开后第 $n$ 项的系数，即 $a n s = (\binom{5 - 1}{n + 5 - 1}) = (\binom{4}{n + 4})$ 。

指数型生成函数的一般形式：

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} \frac{x^{i}}{i!} \\ = a_{0} + a_{1} x + a_{2} \frac{x^{2}}{2!} + a_{3} \frac{x^{3}}{3!} + \dots + a_{n} \frac{x^{n}}{n!} \end{aligned}

同样令 $a_{i} = 1$ ，可以得到最简单的指数型生成函数，记为 $e^{x}$ 。

\begin{aligned} e^{x} & = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{i}}{i!} \\ = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} \end{aligned}

拓展一下，不难得出

$e^{- x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} \dots$
$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} + \dots$
$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots$